绝热路径几何的界：基于能隙剖面的宽度类
Bounds on adiabatic path geometry from the width class of the gap profile
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本文基于能隙剖面的宽度类，改进绝热路径长度与曲率的上界，并证明其紧性，应用于Grover搜索、XXZ链和分子电子哈密顿量。
中文摘要 AI 辅助
在绝热演化中，当参数 s 从 0 调至 1 时，波函数跟随哈密顿量 H(s) 的基态路径 |Φ_0(s)⟩。该绝热路径的几何由诸如长度 L=∫_0^1 ‖∂_s |Φ_0(s)⟩‖ ds 和总曲率 K 等量描述。此几何影响演化时间 T。例如，T 至少为 L/Δ_* 的量级，其中 Δ_* 是 s∈[0,1] 上的最小能隙。传统方法给出 L=O(Δ_*^{-1/2}) 和 K=O(Δ_*^{-1})，在许多情况下这些界是宽松的。我们通过使用 μ_<(γ)（即能隙低于 γ 的 s 区域的宽度）来改进这些界。当 μ_<(γ) 至少以 γ^{1/p} 的速度下降时，能隙剖面属于宽度类 p。典型的避免交叉属于宽度类 p=1，这给出 L=O(√log Δ_*^{-1}) 和 K=O(log Δ_*^{-1})。宽度类 p>1 的剖面给出幂律，L 的指数为 (p-1)/(2p)，K 的指数为 (p-1)/p。宽度类还限制了演化时间。在 p=1 时，以恒定速率推进 s 的调度给出 T=O(Δ_*^{-2})，而以恒定几何速度遍历路径的调度给出 T=O(Δ_*^{-1})（至多含多对数修正）。L 的界对任何二次连续可微的 H(s) 成立，K 的界对仿射 H(s) 成立。我们还证明了对于每个整数 p≥1，L 关于 Δ_* 的标度是紧的，以及 p=1 时 K 的标度是紧的。我们展示了这些界在绝热 Grover 搜索、XXZ 自旋链和分子电子哈密顿量上的应用。
英文摘要
In an adiabatic evolution, the wave function follows the path of ground states $|Φ_0(s)\rangle$ of a Hamiltonian $H(s)$ as $s$ is tuned from $0$ to $1$. The geometry of this adiabatic path is described by quantities such as its length $L=\int_0^1 \|\partial_s |Φ_0(s)\rangle\|\,ds$ and its total curvature $K$. This geometry affects the evolution time $T$. For instance, $T$ is at least of order $L/Δ_*$, where $Δ_*$ is the minimum energy gap over $s\in[0,1]$. The traditional approach gives $L=O(Δ_*^{-1/2})$ and $K=O(Δ_*^{-1})$, which are loose in many cases. We improve these bounds by using $μ_<(γ)$, the width of the region in $s$ on which the gap is below $γ$. The gap profile is in width class $p$ when $μ_<(γ)$ falls at least as fast as $γ^{1/p}$. A typical avoided crossing is in width class $p=1$, which gives $L=O(\sqrt{\log Δ_*^{-1}})$ and $K=O(\log Δ_*^{-1})$. A profile in width class $p>1$ gives power laws with exponents $(p-1)/(2p)$ for $L$ and $(p-1)/p$ for $K$. The width class also bounds the evolution time. At $p=1$ we have $T=O(Δ_*^{-2})$ with a schedule that advances $s$ at a constant rate, and $T=O(Δ_*^{-1})$ up to a polylogarithmic correction with a schedule that traverses the path at a constant geometric speed. The bounds on $L$ hold for any twice continuously differentiable $H(s)$, and the bounds on $K$ for affine $H(s)$. We also prove the tightness of scaling of $L$ in $Δ_*$ for every integer $p\ge1$, and the scaling of $K$ at $p=1$. We demonstrate the bounds on the adiabatic Grover search, the XXZ spin chain, and molecular electronic Hamiltonians.
发表机构
- School of Computational Sciences, Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等科学研究院计算科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
