算术伪Frobenius数与行列式数值半群环
Arithmetic pseudo-Frobenius numbers and determinantal numerical semigroup rings
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本文证明了数值半群环定义理想具有行列式表示的猜想在相关元素唯一分解条件下成立，并应用于仿射轨道数值半群，给出其定义理想的生成元及极小自由分解。
中文摘要 AI 辅助
设$H=\langle a_1,\ldots,a_n\rangle$为一个数值半群。关于数值半群环的一个猜想预测：定义理想$I_H$具有行列式表示当且仅当$H$的伪Frobenius数集具有形式$\{h+\alpha,h+2\alpha,\ldots,h+(n-1)\alpha\}$，其中$h\ge 0$，$\alpha>0$。我们在$h$在$H$中具有唯一分解的条件下证明了这个猜想。我们还给出了这一唯一分解条件的刻画。作为应用，我们考虑了由$m=cA_{n-1}+1$（$1\le c\le a$）确定的仿射轨道数值半群族。我们证明了相关元素$h$具有唯一分解，并且定义理想由$2\times n$矩阵的2阶子式生成。特别地，上述矩阵的Eagon--Northcott复形给出了$k[H]$的分次极小自由分解。
英文摘要
Let $H=\langle a_1,\ldots,a_n\rangle$ be a numerical semigroup. A conjecture on numerical semigroup rings predicts that the defining ideal $I_H$ has a determinantal presentation if and only if the set of pseudo-Frobenius numbers of $H$ has form $\{h+α,h+2α,\ldots,h+(n-1)α\}$ for $h\ge 0, α>0$. We prove this conjecture under the condition that $h$ has a unique factorization in $H$. We also give characterization this unique-factorization condition. As an application, we consider the family of affine-orbit numerical semigroups determined by $m=cA_{n-1}+1$, $1\le c\le a$. We prove that the relevant element $h$ has a unique factorization and the defining ideal is generated by the 2-minors of a $2\times n$-matrix. In particular, the Eagon--Northcott complex of the matrix mentioned above gives the graded minimal free resolution of $k[H]$.
发表机构
- Hanoi Pedagogical University 2（河内第二师范大学）
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