AI 中文总结
针对Salem提出的Minkowski问号函数Fourier-Stieltjes变换是否趋于零的问题，本文给出自包含的简短证明，得到指数至少0.0472的显式多项式衰减估计，并将最优Fourier衰减指数上界从0.4373改进至0.4223。
AI 中文摘要
1943年，R. Salem 提出 Minkowski 问号函数的 Fourier-Stieltjes 变换是否在无穷远处趋于零的问题。这一问题由 Jordan 和 Sahlsten 在2016年基于他们对 Gauss 映射的 Gibbs 测度的一般性结果给出了肯定回答。在本注记中，我们为 $?(x)$ 提供一个自包含的证明。我们的论证在若干方面有实质性不同，从而使得在 $?(x)$ 情形下能够给出一个非常简短的证明。此外，我们得到了一个显式的多项式衰减估计，指数至少为 0.0472。随后我们证明了 Minkowski 测度的关联维数的存在性，从而将最优 Fourier 衰减指数的先前上界从 0.4373 改进到 0.4223。
英文摘要
In 1943, R. Salem asked whether the Fourier-Stieltjes transform of the Minkowski question-mark function vanishes at infinity. This problem was answered affirmatively by Jordan and Sahlsten in 2016 as a consequence of their general results on Gibbs measures for the Gauss map. In this note we give a self-contained proof for ?(x). Several aspects of our argument are substantially different, making a very short proof possible in the ?(x) case. Moreover, we obtain an explicit polynomial decay estimate, with exponent at least 0.0472. We then prove the existence of the correlation dimension of the Minkowski measure, thereby improving the previous upper bound for the optimal Fourier decay exponent from 0.4373 to 0.4223.
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