Tsai--Wang 形式的精确 Comass 判据
The Exact Comass Criterion for the Tsai--Wang Form
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中文总结 AI 辅助
本文证明了 Tsai--Wang 形式的 comass 为 1 的精确判据，即奇异值平方和条件 $\mathcal{S}\leq1$，并给出二分法：$\mathcal{S}<1$ 时唯一校准平面为图切平面，$\mathcal{S}=1$ 时映射为仿射或秩 2。
中文摘要 AI 辅助
对于映射 $F:\u039e\u2282\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，设 $\Theta(F)$ 为 Tsai 和 Wang 在 [arXiv:2604.04336] 中引入的 $\Omega\times\mathbb{R}^m$ 上的 $n$-形式。若 $\lambda_1,\ldots,\lambda_{r}$ 是任意固定点处 $d F$ 的非零奇异值，我们证明 $$ \Theta(F) \text{ 的 comass 为 1 当且仅当 }~ \mathcal{S}(\lambda):=\sum_{i=1}^{r}\frac{\lambda_i^2}{1+\lambda_i^2}\leq1. $$ 注意若 $\text{rank} d F\le1$，则 $\mathcal{S}$ 总是小于 1。我们还证明了一个二分法：若 $\mathcal{S}\leq 1$，则要么 $\mathcal{S} < 1$，要么 $\mathcal{S}\equiv1$。当 $\mathcal{S}<1$ 时，图切平面是唯一校准平面，推广了超曲面的相应结果。当 $\mathcal{S}\equiv1$ 时，我们证明 $F$ 是仿射的或秩为 2。
英文摘要
For a map $F:Ω\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, let $Θ(F)$ be the $n$-form on $Ω\times\mathbb{R}^m$ introduced by Tsai and Wang [arXiv:2604.04336]. If $λ_1,\ldots,λ_{r}$ are the nonzero singular values of $d F$ at any fixed point, we prove that $$ Θ(F) \text{ has comass one if and only if }~ \mathcal{S}(λ):=\sum_{i=1}^{r}\frac{λ_i^2}{1+λ_i^2}\leq1. $$ Note that if $\text{rank} d F\le1$, $\mathcal{S}$ is always less than $1$. We also prove a dichotomy that if $\mathcal{S}\leq 1$, then either $\mathcal{S} < 1$ or $\mathcal{S}\equiv1$. When $\mathcal{S}<1$, the graph tangent plane is the only calibrated plane, generalizing the corresponding result for hypersurfaces. When $\mathcal{S}\equiv1$, we prove that $F$ is affine or of rank $2$.
发表机构
- National Taiwan University（台湾大学）
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