高斯随机变量的配分函数
On partition functions of Gaussian random variables
AI总结：
本文研究中心化高斯随机向量配分函数的广义L_q均值，证明其在q=1处发生完全相变：正则单纯形构型在q<1时最大化、q>1时最小化这些均值，并分别通过全局强凸性和反向Brascamp-Lieb型比较给出证明。
AI中文摘要：
对于 $\beta \in \mathbb{R}$，我们定义中心化高斯随机向量 $X=(X_1, \ldots, X_N)$（满足 $\mathbb{E}[X_i^2]= 1$）的配分函数 $$ Z_\beta(X) = \sum_{i=1}^N \exp(\beta X_i) $$。对于 $q \in \mathbb{R}$，我们证明了 $Z_\beta(X)$ 的广义 $L_q$-均值在 $q=1$ 处发生完全相变。由单位向量的正则单纯形构型得到的协方差矩阵为 $\Delta_N$ 的中心化高斯向量，在 $q<1$ 时最大化这些均值，在 $q>1$ 时最小化这些均值。这两个区域由不同的原理支配。对于 $q > 1$ 且 $\beta\ne0$，矩泛函在整个相关矩阵集合上是全局强凸的，具有显式的凸性模量和定量的质心-形状稳定性估计。对于 $q<1$，策略不同。我们证明了反向 Brascamp--Lieb 类型的对数凹剖面的普适比较。将此结果专门应用于 Gumbel 剖面，得到配分函数之间的拉普拉斯变换比较。
英文摘要：
For $β\in \mathbb{R}$, we define the partition function $$ Z_β(X) = \sum_{i=1}^N \exp(βX_i) $$ of a centered Gaussian random vector $X=(X_1, \ldots, X_N)$ with $\mathbb{E}[X_i^2]= 1$. For $q \in \mathbb{R}$, we prove a complete phase transition for the generalized $L_q$-means of $Z_β(X)$ at $q=1$. The centered Gaussian vector with covariance matrix $Δ_N$ obtained from a regular simplex configuration of unit vectors maximizes these means for $q<1$, and minimizes them for $q>1$. The two regimes are governed by different principles. For $q > 1$ {and $β\ne0$}, the moment functional is globally strongly convex on the entire set of correlation matrices, with an explicit modulus of convexity and a quantitative centroid-shape stability estimate. For $q<1$, the strategy is different. We prove a universal comparison for log-concave profiles of reverse Brascamp--Lieb type. Specializing this result to the Gumbel profile yields a Laplace-transform comparison between the partition functions.
