发表机构
Norwegian National Security Authority (NSM); Department of Mathematics, University of Oslo（挪威国家安全局; 奥斯陆大学数学系）
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该研究证明无限辫群及其纯辫群包含的约化群C*-代数是Z-稳定的且无自包含的，并给出中间代数的性质及反例。
AI 中文摘要
设 $B_\infty$ 和 $P_\infty$ 分别为无限条辫子上的辫群和纯辫群。我们证明包含 $C^*_r(P_\infty)\subseteq C^*_r(B_\infty)$ 是 $\mathcal{Z}$-稳定的且无自包含的。因此，所有中间包含和所有中间 $C^*$-代数都是 $\mathcal{Z}$-稳定的且无自包含的。这些中间 $C^*$-代数是简单非核 $\mathcal{Z}$-稳定 $C^*$-代数的自然例子，并且它们是单生成的。$\mathcal{Z}$-稳定性的证明使用了一个简单的相对中心化子准则。我们还证明了 $C^*_r(\mathbb{F}_\infty)\subseteq C^*_r(B_\infty)$ 是一个无自包含的包含，其中 $\mathbb{F}_\infty$ 是仅移动第一条辫子的辫子自由群。所有结果对于约化扭曲群 $C^*$-代数都成立。$C^*_r(B_\infty)$ 本身的无自包含性已经由 Ozawa 的工作得出。另一方面，对于所有非内可均的群，其扭曲群 $C^*$-代数的 $\mathcal{Z}$-稳定性都失败。一个变体表明，对于所有有限 $n$ 的 $B_n$ 的扭曲群 $C^*$-代数，以及来自 Artin 表示的 $B_n$ 的扭曲交叉积，$\mathcal{Z}$-稳定性都失败。最后，该方法适用于其他群的递增并集，例如 $\mathrm{SL}_\infty(\mathbb{Z})$，其约化群 $C^*$-代数也是 $\mathcal{Z}$-稳定的。
英文摘要
Let $B_\infty$ and $P_\infty$ be the braid group and the pure braid group on infinitely many strands. We show that the inclusion $C^*_r(P_\infty)\subseteq C^*_r(B_\infty)$ is $\mathcal{Z}$-stable and selfless. Hence every intermediate inclusion and every intermediate $C^*$-algebra is $\mathcal{Z}$-stable and selfless. The intermediate $C^*$-algebras are natural examples of simple nonnuclear $\mathcal{Z}$-stable $C^*$-algebras, and they are singly generated. The proof of $\mathcal{Z}$-stability uses a simple relative centralizer criterion. We also show that $C^*_r(\mathbb{F}_\infty)\subseteq C^*_r(B_\infty)$ is a selfless inclusion, where $\mathbb{F}_\infty$ is the free group of braids in which only the first string moves. All results hold for reduced twisted group $C^*$-algebras. Selflessness of $C^*_r(B_\infty)$ itself already follows from work of Ozawa. On the other hand, $\mathcal{Z}$-stability fails for all twisted group $C^*$-algebras of groups that are not inner amenable. A variant shows that it fails for all twisted group $C^*$-algebras of $B_n$ with $n$ finite, and for the twisted crossed products from Artin's representation of $B_n$. Finally the method applies to other increasing unions of groups, such as $\mathrm{SL}_\infty(\mathbb{Z})$, whose reduced group $C^*$-algebra is $\mathcal{Z}$-stable.
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