奇特征下的对称行列式对偶极性
Symmetric-determinant apolarity in odd characteristic
- Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
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AI总结：
本文研究奇特征域上对称矩阵行列式的对偶极理想，确定其生成元并利用外代数与SL_2配对刻画剩余关系，同时给出Hilbert级数及Lefschetz性质成立的精确条件。
AI中文摘要：
设 D_N 为一般对称 N×N 矩阵的行列式，并让微分算子在一个奇特征 p 的域上通过普通微分作用。我们确定了所有尺寸下 D_N 的对偶极理想。除了经典的二次关系外，它还对每组 2p−2 个指标由一个 (p−1)×(p−1) 的微分变量行列式生成。这些额外的生成元在二次理想模意义下是极小的。一个外代数实现将剩余的对偶极关系等同于 SL_2 的不变配对的根。半单化给出了以高度至多为 p−2 的 Dyck 路径表示的 Hilbert 级数，而 Steinberg 对称化子给出了整个根的显式生成元。我们还计算了一般线性形式的幂的秩。当且仅当 N ≤ 2p−2 时弱 Lefschetz 性质成立，当且仅当 N < p 时强 Lefschetz 性质成立。
英文摘要：
Let D_N be the determinant of the generic symmetric N x N matrix, and let differential operators act by ordinary differentiation over a field of odd characteristic p. We determine the apolar ideal of D_N in every size. In addition to the classical quadratic relations, it is generated by one (p-1) x (p-1) determinant of differential variables for each set of 2p-2 indices. These additional generators are minimal modulo the quadratic ideal. An exterior-algebra realization identifies the remaining apolar relations with radicals of invariant pairings for SL_2. Semisimplification gives a Hilbert series in terms of Dyck paths of height at most p-2, and the Steinberg symmetrizer gives the explicit generators of the entire radical. We also compute the ranks of powers of a general linear form. The weak Lefschetz property holds exactly when N <= 2p-2, and the strong Lefschetz property holds exactly when N < p.
