Erdős--Selfridge 曲线的改进指数界
Improved exponent bounds for Erdős--Selfridge curves
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本文针对 Erdős--Selfridge 曲线，在 k 足够大时改进了有理点上素数指数 l 的双重指数上界，方法结合组合、筛法与广义 Fermat 方程结果。
中文摘要 AI 辅助
给定整数 $k,\ell \geq 2$，定义 Erdős--Selfridge 曲线 \begin{align*} \mathcal{C}_{k,\ell}: y^\ell = x(x+1)\cdots (x+k-1)。\end{align*} Bennett 和 Siksek 证明了若 $(x,y)$ 是 $\mathcal{C}_{k,\ell}$ 上的有理点，其中 $\ell$ 为素数且 $y \neq 0$，则 $\ell$ 以 $k$ 的双重指数函数为界。我们在 $k$ 足够大时改进了这一关于 $\ell$ 的界。我们的方法使用了组合与筛法论证，以及广义 Fermat 方程解的相关结果。
英文摘要
Given integers $k,\ell \geq 2$, define the Erdős--Selfridge curve \begin{align*} \mathcal{C}_{k,\ell} : y^\ell = x(x+1)\cdots (x+k-1). \end{align*} Bennett and Siksek proved that if $(x,y)$ is a rational point on $\mathcal{C}_{k,\ell}$ with $\ell$ a prime and $y \neq 0$, then $\ell$ is bounded (doubly-exponentially) in terms of $k$. We improve this bound on $\ell$ when $k$ is sufficiently large. Our method uses combinatorial and sieve-theoretic arguments, as well as results on solutions to generalized Fermat equations.
发表机构
- Xavier University of Louisiana（路易斯安那泽维尔大学）
- Brigham Young University（杨百翰大学）
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