图的特征值之间的二次不等式
Quadratic inequalities between the largest eigenvalues of a graph
- HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
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AI总结：
本文证明了图的最大两个特征值及第二、第三大特征值之间的尖锐二次不等式，并推广到对称矩阵，通过转化为低维几何极值问题并利用拉格朗日乘子法求解。
AI中文摘要：
我们证明了具有 $n$ 个顶点的图的最大两个特征值 $\lambda_1 \ge \lambda_2$ 之间的一个尖锐的二次不等式。我们还证明了第二和第三大特征值 $\lambda_2 \ge \lambda_3$ 之间的一个二次不等式。这些结果特别地蕴含了界 $\lambda_1 + \lambda_2 \le \frac{8}{7} n - 2$，$\lambda_3 \le \frac{n}{3} - 1$ 和 $\lambda_2 + \lambda_3 \le \frac{2}{3} n - 2$。事实上，我们确定了可能的 $(\frac{\lambda_1+1}{n}, \frac{\lambda_2+1}{n}) \in \mathbb{R}^2$ 和 $(\frac{\lambda_2+1}{n}, \frac{\lambda_3+1}{n}) \in \mathbb{R}^2$ 的集合的闭包。更一般地，我们证明了在 $[0,1]^{n \times n}$ 中的对称矩阵情形下的二次界，并且我们还给出了在 $[-1,1]^{n \times n}$ 中的对称矩阵的两个特征值的二次界。这些界是通过将问题转化为 $\mathbb{R}^3$ 和 $\mathbb{R}^2$ 中的极值几何问题来证明的。我们使用拉格朗日乘子法将问题归结为至多五个点的特殊情形，并直接处理这些特殊情形。
英文摘要：
We prove a sharp quadratic inequality between the largest two eigenvalues $λ_1 \ge λ_2$ of a graph with $n$ vertices. We also prove a quadratic inequality between the second and third largest eigenvalues $λ_2 \ge λ_3$. These results in particular imply the bounds $λ_1 + λ_2 \le \frac{8}{7} n - 2$, $λ_3 \le \frac{n}{3} - 1$ and $λ_2 + λ_3 \le \frac{2}{3} n - 2$. In fact we determine the closure of the set of possible $(\frac{λ_1+1}{n}, \frac{λ_2+1}{n}) \in \mathbb{R}^2$ and $(\frac{λ_2+1}{n}, \frac{λ_3+1}{n}) \in \mathbb{R}^2$. More generally, we prove quadratic bounds in the case of symmetric matrices in $[0,1]^{n \times n}$, and we also give a quadratic bound for two eigenvalues of a symmetric matrix in $[-1,1]^{n \times n}$. These bounds are proved by transforming the problem into extremal geometric questions in $\mathbb{R}^3$ and $\mathbb{R}^2$. We use the method of Lagrange multipliers to reduce to special cases with at most five points, and we deal with these special cases directly.
