不存在8正则的$K_3$-不规则图
There is no $8$-regular $K_3$-irregular graph
- National University of Kyiv-Mohyla Academy（基辅莫希拉国立学院）
- Kyiv School of Economics（基辅经济学校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文证明不存在8正则的$K_3$-不规则图，结合已有结果，确立了$r$-正则$K_3$-不规则图存在当且仅当$r\geq 9$，解决了该领域的最后一个未决情况。
AI中文摘要：
一个图是$K_3$-不规则的，如果其顶点属于两两不同的三角形数量。我们证明了不存在8正则的$K_3$-不规则图，解决了最后一个未解决的情况。在最初发现正则度$r \in \{10,11,12\}$的此类图之后（Stevanovi'c等人，2024），我们之前的工作（Hak等人，2025）表明对于$r \le 7$不存在这样的图，提供了$r=9$的第一个例子，并证明了任何8正则的候选图必须具有17到22个顶点。我们通过将三角形度的仔细分析与整数线性规划技术相结合，排除了$r=8$的这些可能阶数。同时，最近的一个构造（Zhang，2026）确立了对于所有$r \ge 9$，正则$K_3$-不规则图确实存在。结合我们的结果，这确立了$r$-正则$K_3$-不规则图存在当且仅当$r\geq 9$。
英文摘要：
A graph is $K_3$-irregular if its vertices belong to pairwise distinct numbers of triangles. We prove that no $8$-regular $K_3$-irregular graph exists, settling the last unresolved case. Following the initial discovery of such graphs for regularities $r \in \{10,11,12\}$ (Stevanovi'c et al., 2024), our previous work (Hak et al., 2025) showed that no such graphs exist for $r \le 7$, provided the first example for $r=9$, and proved that any $8$-regular candidate must have between $17$ and $22$ vertices. We exclude these possible orders for $r=8$ by combining careful analysis of triangle degrees with integer linear programming techniques. Meanwhile, a recent construction (Zhang, 2026) established that regular $K_3$-irregular graphs do exist for all $r \ge 9$. Together with our results, this establishes that an $r$-regular $K_3$-irregular graph exists if and only if $r\geq 9$.
