加权空间中NLS的全局理论II：终值问题
Global theory for NLS in the weighted spaces II: final data problem
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文研究加权空间中散焦NLS的终值问题，证明三维情形下在临界指数处局部适定性与初值问题相反，并对二次方程在临界空间获得径向数据的唯一全局解。
中文摘要 AI 辅助
本文研究了加权空间 $\dot\Sigma^s(\mathbb R^d):=L_x^2(\mathbb R^d;|x|^{2s}\mathrm{d} x)$ 中散焦非线性薛定谔方程（NLS）$$ i\partial_t u + \frac12\Delta u = |u|^p u $$ 的终值问题。设 $s_c=\frac d2-\frac2p$。在NLS的标度下，$\dot{\Sigma}^{-s_c}(\mathbb R^d)$ 是标度临界的加权空间。在三维情形下，在本文所考虑的指数范围内，我们证明了终值问题在 $s\geq -s_c$ 时是局部适定的，而在 $s<-s_c$ 时是不适定的。这与相应的初值问题相反，后者在 $s\leq -s_c$ 时局部适定，在 $s>-s_c$ 时不适定。对于三维二次方程，我们进一步在临界空间 $\dot\Sigma^{\frac12}(\mathbb R^3)$ 中为每个径向终值数据获得了唯一的全局解。
英文摘要
In this paper, we study the final data problem for the defocusing nonlinear Schrödinger equation (NLS) $$ i\partial_t u + \frac12Δu = |u|^p u $$ in weighted spaces $\dotΣ^s(\mathbb R^d):=L_x^2(\mathbb R^d;|x|^{2s}\mathrm{d} x)$. Let $s_c=\frac d2-\frac2p$. Under the scaling of the NLS, $\dotΣ^{-s_c}(\mathbb R^d)$ is the scaling-critical weighted space. In three dimensions, within the range of exponents considered in this paper, we show that the final data problem is locally well-posed for $s\geq -s_c$ and ill-posed for $s<-s_c$. This is opposite to the corresponding initial data problem, which is locally well-posed for $s\leq -s_c$ and ill-posed for $s>-s_c$. For the three-dimensional quadratic equation, we further obtain a unique global solution for every radial final datum in the critical space $\dotΣ^{\frac12}(\mathbb R^3)$.
发表机构
- Tianjin University（天津大学）
- Nankai University（南开大学）
- Nanjing Normal University（南京师范大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
