线性格中的禁止子偏序集问题
Forbidden subposet problems in the linear lattice
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中文总结 AI 辅助
研究线性格中的弱强禁止子偏序集问题，证明Bukh-Griggs-Lu猜想的q-模拟失败，并给出若干精确极值结果，包括菱形猜想的q-模拟肯定解答。
中文摘要 AI 辅助
我们研究了线性格 $L_n(q)$ 中的弱和强禁止子偏序集问题。我们证明 Bukh--Griggs--Lu 猜想的 $q$-模拟对每个素数幂 $q$ 均不成立。若 $q\ge 3$ 且 $n$ 与 $d$ 具有相反奇偶性，则 $La_q(n,L_d(q))=La_q^*(n,L_d(q))=\Sigma_q(n,d)$。我们还证明对于 $2\le s\le q$ 及所有 $n$，以及当 $n$ 为奇数时 $s=q+1$ 的情形，有 $La_q(n,D_s)=La_q^*(n,D_s)=\Sigma_q(n,2)$。当 $n$ 为偶数时，最大强 $D_{q+1}$-自由族可包含于三个中间层中。$s=2$ 的情形肯定地回答了菱形猜想的 $q$-模拟。
英文摘要
We study weak and strong forbidden subposet problems in the linear lattice $L_n(q)$. We show that the $q$-analogues of the Bukh--Griggs--Lu conjecture fail for every prime power $q$. If $q\ge 3$ and $n$ and $d$ have opposite parity, then $La_q(n,L_d(q))=La_q^*(n,L_d(q))=Σ_q(n,d)$. We also show that $La_q(n,D_s)=La_q^*(n,D_s)=Σ_q(n,2)$ for $2\le s\le q$ and all $n$, and for $s=q+1$ when $n$ is odd. For $n$ even, a maximum strong $D_{q+1}$-free family can be contained from the three middle layers. The case $s=2$ settles the $q$-analog of the diamond conjecture in the affirmative.
