奇特征下自然 $\mathrm{SL}_2$-模张量幂的不可分解分量数的渐近性
Asymptotics for number of indecomposable components of tensor powers of the natural $\mathrm{SL}_2$-module in odd characteristic
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- Indiana University（印第安纳大学）
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中文总结 AI 辅助
该研究在奇特征代数闭域上，证明了自然SL2-模张量幂的不可分解分量数渐近公式，并揭示了其与theta函数重标度卷积的极限密度联系。
中文摘要 AI 辅助
设 $K$ 为奇特征 $p$ 的代数闭域，$G={\rm SL}_2(K)$，$V$ 为 $G$ 的自然表示。令 $b_k$ 表示 $V^{\otimes k}$ 的 $G$-不可分解因子数（按重数计），并设 $\delta_p=1-\log_{p^2}\\!\bigl(\tfrac{p+1}{2}\bigr)$。则存在一个光滑、严格正、乘性 $p^2$-周期的函数 $\omega(t)$，使得 $b_k$ 渐近于 $\omega(k)k^{-\delta_p}2^k$。我们还证明 $t^{-\delta}\omega(t)$ 作为正权 $3/2$ theta 函数重标度副本的再归一化卷积的极限密度出现，该 theta 函数由 $(0,p)$ 上 Dirichlet 热核的边界热通量获得。
英文摘要
Let $K$ be an algebraically closed field of odd characteristic $p$, let $G= {\rm SL}_2(K)$, and let $V$ be the natural representation of $G$. Let $b_k$ denote the number of $G$-indecomposable factors of $V^{\otimes k}$, counted with multiplicity, and let $δ_p=1-\log_{p^2}\!\bigl(\tfrac{p+1}{2}\bigr)$. Then there exists a smooth, strictly positive, multiplicatively $p^2$-periodic function $ω(t)$ such that $b_k$ is asymptotic to $ω(k)k^{-δ_p}2^k$. We also show that $t^{-δ}ω(t)$ arises as the limiting density of renormalized convolutions of rescaled copies of a positive weight $3/2$ theta function, obtained from the boundary heat flux of the Dirichlet heat kernel on $(0,p)$.
