四维theta函数与Epstein zeta函数的最小值

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设theta函数为$\Theta(\alpha,L)=\sum_{v\in L}e^{-\pi\alpha|v|^2}$（$\alpha>0$），Epstein zeta函数为$E(L,s)=\sum_{v\in L\setminus\{0\}}{|v|^{-2s}}$（$s>2$）。我们考虑$L\subset\mathbb R^4$中的满秩格。设$L$的协体积为1，令$\mathcal D_4=2^{-1/4}D_4$为根格$D_4$缩放至协体积1后的形式。我们证明，在正交变换意义下，当$\alpha>0$时，$arg\\,min_{covol(L)=1}\Theta(\alpha,L)=\mathcal D_4$，并且这蕴含当$s>2$时，$arg\\,min_{covol(L)=1}E(L,s)=\mathcal D_4$。这证明了根格在四维所有格中最小化theta函数和Epstein zeta函数，正如Sarnak-Strömbergsson（2006年）所猜想的那样，他们建立了$\mathcal D_4$的局部极小性。由此，这解决了可追溯到Éndibaev（1978年）和Shushbaev（1978年）的四维Rankin-Sobolev问题。

英文摘要

Let the theta and Epstein zeta functions be $Θ(α,L)=\sum_{v\in L}e^{-πα|v|^2}$ for $α>0$ and $E(L,s)=\sum_{v\in L\setminus\{0\}}{|v|^{-2s}}$ for $s>2$, respectively. We consider full-rank lattices $L\subset\mathbb R^4$. Let the covolume of $L$ be one, and let $\mathcal D_4=2^{-1/4}D_4$ be the root lattice $D_4$ rescaled to covolume one. We prove that, up to orthogonal transformations, \begin{equation}\nonumber arg\,min_{covol(L)=1}Θ(α,L)=\mathcal D_4 \qquad\text{if}\quad α>0, \end{equation} and this implies that \begin{equation}\nonumber arg\,min_{covol(L)=1}E(L,s)=\mathcal D_4 \qquad\text{if}\quad s>2. \end{equation} This proves that the root lattice minimizes the theta and Epstein zeta functions among all lattices in dimension four, as conjectured by Sarnak-Strömbergsson (\cite{SS}, 2006), who established the local minimality of $\mathcal D_4$. Thereby, this resolves the Rankin-Sobolev problem in dimension four dating back to Éndibaev (\cite{End1978}, 1978) and Shushbaev (\cite{Shu1978}, 1978).

发表机构

• Jiangxi Normal University（江西师范大学）
• Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）

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