具有大光滑部分的整数的均匀估计
Uniform Estimates for Integers with a Large Smooth Part
- University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
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AI总结：
本文研究具有大光滑部分的整数分布，在给定范围内得到计数函数的均匀估计，其指数阶由 Dickman 函数控制，证明结合了经典估计与局部均匀估计。
AI中文摘要：
我们研究了具有大光滑部分的整数的分布。我们得到了一个均匀估计，用于计数不超过 \\(x\\) 且其 \\(y\\)-光滑部分超过给定阈值 \\(z\\) 的整数个数，在范围 \\(\log z\le y\le z\le x/2\\) 内。我们的估计具有由 Dickman 函数控制的预期指数阶，并且在该范围内一致成立。证明结合了光滑数和粗糙数的经典估计，以及光滑数计数函数局部行为的均匀估计。
英文摘要：
We study the distribution of integers with a large smooth part. We obtain a uniform estimate for the number of integers up to \(x\) whose \(y\)-smooth part exceeds a given threshold \(z\), in the range \(\log z\le y\le z\le x/2\). Our estimate has the expected exponential order governed by the Dickman function and holds uniformly throughout this range. The proof combines classical estimates for smooth and rough numbers with uniform estimates for the local behavior of the smooth-number counting function.
