$L^1$ 行为：半空间中的 Stokes 系统与 Navier--Stokes 系统
$L^1$ Behavior of the Stokes System and the Navier--Stokes System in the Half Space
- Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
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AI总结：
本文研究半空间中 Stokes 与 Navier--Stokes 系统在 $L^1$ 初始数据下的解行为，给出渐近展开、解不属于 $L^1$ 的充分条件及点态下界，利用 Green 张量结构与消去性质克服非交换困难。
AI中文摘要：
本文研究了当初始数据属于 $L^1$ 时，半空间中 Stokes 系统和 Navier--Stokes 系统解的详细行为。我们首先给出了具有 $L^1$ 初始数据的 Stokes 系统解的详细渐近展开。借助该展开，我们提供了关于初始数据的两个充分条件，使得相应的 Navier--Stokes 系统的解不属于 $L^1$，分别对应长时间和短时间行为。此外，对于 $n$ 维 Navier--Stokes 系统，在初始数据衰减快于阶 $n$ 的条件下，在 $x_n$ 轴的锥形邻域内推导出阶为 $n$ 的点态空间下界。获得首阶项精确形式的主要困难之一是 Leray 投影算子与拉普拉斯算子的不可交换性。我们的策略是利用 Han 观察到的 Green 张量的特殊结构以及初始数据的消去性质。这也通过比较线性和非线性部分，给出了获得精确渐近行为的初始数据的充分条件。
英文摘要：
In this paper, the detailed behavior of solutions of both the Stokes and the Navier--Stokes system in the half space is investigated when the initial data belongs to $L^1$. We first give a detailed asymptotic expansion of the solution to the Stokes system supplemented with $L^1$ initial data. With the aid of this expansion, we provide two sufficient conditions on the initial data so that the associated solutions of the Navier--Stokes system do not belong to $L^1$, corresponding to long time and short time behaviors, respectively. Moreover, for the $n$- dimensional Navier--Stokes system, a pointwise spatial lower bound of order $n$ is derived in a conic neighborhood of the $x_n$-axis, provided that the initial data decays faster than order $n$. One of the main difficulties to get precise form of leading order term is the non-commutativity of the Leray projection operator with the Laplacian. Our strategy is to employ the special structure of the Green tensor observed by Han and a cancellation property of the initial data. This also yields the sufficient conditions on the initial data to get precise asymptotic behavior via comparing the linear and nonlinear parts.
