发表机构
College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究Weierstrass型函数图像的Assouad维数与下维数，给出频率快速增长时的定量条件，使图像在紧区间上维数确定，并构造出四种维数互异的图像。
AI 中文摘要
我们研究了形如 \\[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\phi(b_nx+\theta_n), \qquad x\in\mathbb R, \\] 的Weierstrass型函数图像的Assouad维数与下维数，其中 $\phi$ 是周期为1的非恒定 $C^2$ 函数，$a_n,b_n>0$，$(\theta_n)$ 是任意实数序列，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$，且 $b_{n+1}/b_n\to\infty$。我们给出了定量条件，在这些条件下，图像在每一个非退化紧区间上的Assouad维数为2或下维数为1。特别地，当 $a_n=b_n^{-\alpha}$ 时，我们得到了显式的频率间隙条件，使得对于 $\alpha\leq\vartheta<1$，图像的Assouad谱等于2。当对数频率比收敛时，我们还在低于 $\alpha$ 的非空区间上确定了该谱。结合Barański关于Hausdorff维数和盒维数的公式，这些结果产生了下维数、Hausdorff维数、上盒维数和Assouad维数为四个不同数值的图像。
英文摘要
We study the Assouad and lower dimensions of graphs of Weierstrass-type functions of the form \[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nϕ(b_nx+θ_n), \qquad x\in\mathbb R, \] where $ϕ$ is a nonconstant $C^2$ function of period one, $a_n,b_n>0$, $(θ_n)$ is an arbitrary sequence of real numbers, $\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$, and $b_{n+1}/b_n\to\infty$. We give quantitative conditions under which the graph over every nondegenerate compact interval has Assouad dimension two or lower dimension one. In particular, when $a_n=b_n^{-α}$, we obtain explicit frequency-gap conditions under which the Assouad spectrum of the graph is equal to $2$ for $α\leq\vartheta<1$. When the logarithmic frequency ratios converge, we also determine the spectrum on a nonempty interval below $α$. Together with Barański's formulas for the Hausdorff and box dimensions, these results yield graphs whose lower, Hausdorff, upper box, and Assouad dimensions are four distinct numbers.
Comments17 pages
