发表机构
National University of Singapore（新加坡国立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文扩展了矩-SOS 层级收敛速率的研究方法，通过截断矩序列逼近和 Łojasiewicz 不等式，为 Putinar 型、Krivine--Stengle 型、扩展 Handelman 型和 Hol-Scherer 型层级建立了显式收敛速率，提供了一种通用分析框架。
AI 中文摘要
本文继续我们关于通过截断矩序列逼近研究矩-SOS 层级收敛速率的工作。我们将为 Schmüdgen 型层级开发的方法扩展到 Putinar 型、Krivine--Stengle 型、扩展 Handelman 型和 Hol-Scherer 型层级。主要思想是将伪矩序列提升到一个简单集合，用矩序列逼近它，并将表示测度的原子投影到原始可行集上。然后，Łojasiewicz 不等式将定义约束中的误差转化为矩中的误差。利用 Łojasiewicz 指数 $0<L\leq 1$，我们得到 Putinar 型层级的收敛速率 $\mathrm{O}((\log_2 r)^{3L/2}/r^{L})$，以及归一化 Krivine--Stengle 型和扩展 Handelman 型层级的收敛速率 $\mathrm{O}(1/r^{L/2})$。在矩阵设定下，我们利用 $[-1,1]^n$ 上的 Chebyshev 型核推导出 Hol-Scherer 型层级的速率 $\mathrm{O}((\log_2 r)^{3L/2}/r^{L})$。结合我们先前的工作，这些结果为研究不同类型矩-SOS 层级的收敛速率提供了一种通用方法。
英文摘要
This paper continues our work on the convergence rates of moment-SOS hierarchies via approximation of truncated moment sequences. We extend the method developed for the Schmüdgen-type hierarchy to the Putinar-type, Krivine--Stengle-type, extended-Handelman-type, and Hol-Scherer-type hierarchies. The main idea is to lift a pseudo-moment sequence to a simple set, approximate it by a moment sequence, and project the atoms of a representing measure onto the original feasible set. The Łojasiewicz inequality then converts the error in the defining constraints into an error in the moments. With the Łojasiewicz exponent $0<L\leq 1$, we obtain the convergence rates $\mathrm{O}((\log_2 r)^{3L/2}/r^{L})$ for the Putinar-type hierarchy and $\mathrm{O}(1/r^{L/2})$ for the normalized Krivine--Stengle-type and extended-Handelman-type hierarchies. In the matrix setting, we utilize a Chebyshev-type kernel on $[-1,1]^n$ to derive the rate $\mathrm{O}((\log_2 r)^{3L/2}/r^{L})$ for the Hol-Scherer-type hierarchy. Together with our preceding work, the results provide a universal method for studying convergence rates of different types of moment-SOS hierarchies.
