关于函数空间之间的稠密定义的线性连续算子
On densely defined linear continuous operators between function spaces
- Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
- Nipissing University（尼皮辛大学）
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AI总结：
本文研究函数空间间稠密定义的线性连续算子，建立了在可度量化与完全正规条件下，目标空间继承源空间拓扑性质（如零维性、σ-紧性等）的充分条件，并推广至任意吉洪诺夫空间。
AI中文摘要：
对于任意吉洪诺夫空间 $X$，设 $D(X)$ 表示 $X$ 上所有连续实值函数空间 $C(X)$ 或所有有界连续实值函数空间 $C^*(X)$。当 $D(X)$ 赋予逐点收敛拓扑时，我们记作 $D_p(X)$。在我们最近发表的论文 [8, Theorem 1.6] 中，我们得到了如下结果：若 $T: D_{p}(X) \to D_{p}(Y)$ 是线性连续满射，其中 $X$ 是可度量化空间且 $Y$ 是完全正规空间，则 $Y$ 从 $X$ 继承给定的拓扑性质 $\mathcal{P}$。线性连续满射 $T: E_{p}(X)\to E_{p}(Y)$ 被称为稠密定义的，如果 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 分别是 $D_{p}(X)$ 和 $D_{p}(Y)$ 的稠密线性子空间，且 $E(X)$ 是正确的（见定义 1.5(a)）。在本文中，我们建立了充分条件，使得上述陈述对于稠密定义的线性连续满射 $T: E_{p}(X) \to E_{p}(Y)$ 仍然成立。特别地，$\mathcal{P}$ 可以是零维性、$\sigma$-紧性或强可数维性。此外，对于任意吉洪诺夫空间 $X$ 和 $Y$，假设 $T: E_p(X)\to E_p(Y)$ 是稠密定义的线性连续算子，我们证明 $X\in\mathcal P$ 蕴含 $Y\in\mathcal P$，其中 $\mathcal P$ 是性质 $(\kappa)$、强 $\sigma$-散射性或 $\Delta_1$-空间性质。
英文摘要：
For any Tychonoff space $X$, let $D(X)$ denote either the space $C(X)$ of all continuous real-valued functions on $X$ or the space $C^*(X)$ of all bounded continuous real-valued functions on $X$. We write $D_p(X)$ when $D(X)$ is endowed with the topology of pointwise convergence. In our recently published paper [8, Theorem 1.6], we obtained the following result: if $T: D_{p}(X) \to D_{p}(Y)$ is a linear continuous surjection, where $X$ is a metrizable space and $Y$ is a perfectly normal space, then $Y$ inherits a given topological property $\mathcal{P}$ from $X$. A linear continuous surjection $T: E_{p}(X)\to E_{p}(Y)$ is said to be densely defined if $E(X)$ and $E(Y)$ are dense linear subspaces of $D_{p}(X)$ and $D_{p}(Y)$, respectively, and $E(X)$ is correct (see Definition 1.5(a)). In the present paper, we establish sufficient conditions under which the above statement remains valid for a densely defined linear continuous surjection $T: E_{p}(X) \to E_{p}(Y)$. In particular, $\mathcal{P}$ can be zero-dimensionality, $σ$-compactness or strong countable-dimensionality. Additionally, for arbitrary Tychonoff spaces $X$ and $Y$, assuming that $T: E_p(X)\to E_p(Y)$ is a densely defined linear continuous operator, we show that $X\in\mathcal P$ implies $Y\in\mathcal P$, where $\mathcal P$ is the property $(κ)$, the strong $σ$-scatteredness, or the property of being a $Δ_1$-space.
