发表机构
Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS); Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（上海数学与交叉学科研究院; 复旦大学智能复杂系统研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明 Boston 非分歧猜想在二维奇情形及 McLeman $(3,3)$-猜想的充分性，即虚二次域 $p$-类秩为二且 Galois 群具 Zassenhaus 型 $(3,3)$ 时，$p$-类域塔有限。
AI 中文摘要
设 $p$ 为奇素数。基于 Zhang 近期的工作，我们证明：对于包含 $\infty$ 但不包含 $p$ 的 $\Q$ 的有限素数集 $S$，任意连续奇表示 $G_{\Q,S} \to \GL_2(A)$（其中 $A$ 是特征为 $p$ 的有限剩余域的完备 Noether 局部环，$G_{\Q,S}$ 表示 $\Q$ 在 $S$ 外非分歧的最大扩张的 Galois 群）具有有限像。这证明了 Boston 对 $\Q$ 上非分歧 Fontaine--Mazur 猜想的加强在二维奇情形下的成立。此外，我们证明：对于虚二次域 $K$，其 pro-$p$ Galois 群 $G_{K,S}(p)$ 的任意连续共轭自对二维 $p$-adic 表示具有有限像，前提是 $S$ 中的素数满足一个温和条件。作为应用，我们解决了 McLeman 关于 $p>3$ 时 $p$-类域塔的 $(3,3)$-猜想的充分性方向。具体地，我们证明：若 $K$ 是 $p$-类秩为二的虚二次域，且 $K$ 的最大非分歧 $p$-扩张的 Galois 群 $G_{K,\varnothing}(p)$ 具有 Zassenhaus 型 $(3,3)$，则 $K$ 的 $p$-类域塔是有限的。对于 $p=3$，Ahlqvist 和 Pink 的结果在第四个 Zassenhaus 商的十三个可能情形中的十个给出了相同的有限性结论。
英文摘要
Let $p$ be an odd prime number. Based on recent work of Zhang, we prove that for a finite set $S$ of primes of $\Q$ containing $\infty$ but not $p$, any continuous odd representation $G_{\Q,S} \to \GL_2(A)$ over a complete Noetherian local ring $A$ with finite residue field of characteristic $p$ has finite image, where $G_{\Q,S}$ denotes the Galois group of the maximal extension of $\Q$ unramified outside $S$. This proves the two-dimensional odd case of Boston's strengthening of the unramified Fontaine--Mazur conjecture over $\Q$. Furthermore, we show that for an imaginary quadratic field $K$, any continuous conjugate self-dual two-dimensional $p$-adic representation of its pro-$p$ Galois group $G_{K,S}(p)$ has finite image, provided the primes in $S$ satisfy a modest condition. As an application, we resolve the sufficiency direction of McLeman's $(3,3)$-conjecture on $p$-class field towers for $p>3$. Namely, we prove that if $K$ is an imaginary quadratic field with $p$-class rank two and the Galois group $G_{K,\varnothing}(p)$ of the maximal unramified $p$-extension of $K$ has Zassenhaus type $(3,3)$, then the $p$-class field tower of $K$ is finite. For $p=3$, the results of Ahlqvist and Pink give the same finiteness conclusion in ten of the thirteen possible cases for the fourth Zassenhaus quotient.
Comments12 pages
