发表机构
Instituto de Ciencias Matemáticas, Consejo Superior de Investigaciones Científicas; Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid（西班牙高等科学研究理事会数学科学研究院; 马德里自治大学数学系）
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本文证明 Córdoba-Córdoba-Fontelos 方程的解在保持 $C^{2/5}$ 有界时出现有限时间奇点，且 $C^{2/3}$ 半范数发散，方法基于概率测度积分表示与正核比较。
AI 中文摘要
我们证明了实直线上具有解析初值 $\ heta_0(x)=(1+x^2)^{-1}$ 的 Córdoba-Córdoba-Fontelos 方程 $\ heta_t-u\ heta_x=0$, $u=H\ heta$ 的解在保持 $C^{2/5}$ 一致有界的同时发展出有限时间奇异性。我们还证明了，当解接近奇异时刻时，$\ heta$ 和 $u$ 的 $C^{2/3}$ 半范数均发散。主要工具是一个由非线性演化保持的概率测度的积分表示。从这个表示中，我们利用正核的比较，推导出 $u$ 方程中关键非线性项的逐点二次估计。结合测度矩的演化恒等式，该估计同时给出了均匀 Hölder 界和更高半范数的发散性。
英文摘要
We prove that the solution to the Córdoba-Córdoba-Fontelos equation $θ_t-uθ_x=0$, $u=Hθ$, on the real line with analytic initial datum $θ_0(x)=(1+x^2)^{-1}$ develops a finite-time singularity while remaining uniformly bounded in $C^{2/5}$. We also prove that, as the solution approaches the singular time, the $C^{2/3}$ seminorms of both $θ$ and $u$ diverge. The main ingredient is an integral representation in terms of a probability measure that is preserved by the nonlinear evolution. From this representation we derive a pointwise quadratic estimate for the key nonlinear term in the equation for $u$, using a comparison of positive kernels. Together with evolution identities for the moments of the measure, this estimate yields both the uniform Hölder bound and the divergence of the higher seminorms.
