Fang--Lin 猜想的一个反例：边极值与谱极值在 Turán 图附近发生分歧

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Fang 和 Lin [J. Algebraic Combin. 63 (2026), Art.~58] 提出如下问题：若 $F$ 是边色临界的且 $\chi(F)=r+1$，那么每个非 $r$-部、$F$-free 且具有最大邻接谱半径的图是否也必然最大化边数？我们给出否定回答。令 $F=K_1\vee\mu(K_3)$，其中 $\mu(K_3)$ 是三角形的 Mycielskian 图。该图是边色临界的且 $\chi(F)=5$。我们证明对于所有足够大的 $n$，$\SPEX_{5}(n,F)\cap\EX_{5}(n,F)=\varnothing$。因此不存在一个图能同时最大化边数和谱半径。

英文摘要

Fang and Lin [J. Algebraic Combin. 63 (2026), Art.~58] asked whether, whenever $F$ is edge-color-critical with $χ(F)=r+1$, every non-$r$-partite, $F$-free graph of maximum adjacency spectral radius must also maximize the number of edges. We give a negative answer. Let $F=K_1\veeμ(K_3)$, where $μ(K_3)$ is the Mycielskian of a triangle. This graph is edge-color-critical with $χ(F)=5$. We prove that $\SPEX_{5}(n,F)\cap\EX_{5}(n,F)=\varnothing$ for all sufficiently large $n$. Thus no graph can simultaneously maximize both the edge count and the spectral radius.

发表机构

• School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University（江苏师范大学数学与统计学院）

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