分数布朗运动驱动的随机泛函微分方程的后向欧拉格式的一致性与收敛性

中文摘要 AI 辅助

我们研究了一类由Hurst参数H > 1/2的分数布朗运动驱动的带记忆的随机泛函微分方程（SFDEs）的后向欧拉格式。我们首先建立了该方法的局部一致性，其局部截断误差阶为H - ρ - β + 1；然后，作为主要结果，我们证明了数值逼近在概率为一的集合上的均匀全局路径收敛性，其阶为H - ρ - β，其中β ∈ (1-H, 1/2)且0 < ρ < H - β。作为推论，我们得到了一个具有确定性常数的均匀高概率表述。特别地，收敛阶可以任意接近2H - 1，与显式欧拉格式所获得的阶相匹配。收敛性证明依赖于网格点处格式的精确积分表示、数值解的先验界、分数阶微积分估计以及弱奇异核的Gronwall不等式。

英文摘要

We study the backward-Euler scheme for a class of stochastic functional differential equations (SFDEs) with memory driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H > 1/2. We first establish the local consistency of the method, with a local truncation error of order H -$ρ$- $β$ + 1, and then, as the main result, prove the uniform global pathwise convergence of the numerical approximation, on a set of probability one, with order H -$ρ$ -$β$, for $β$ $\in$ (1-H, 1/2) and 0 < $ρ$ < H -$β$. A uniform high-probability formulation with deterministic constants follows as a corollary. In particular, the convergence order can be taken arbitrarily close to 2H -1, matching the order obtained for the explicit Euler scheme. The convergence proof relies on an exact integral representation of the scheme at mesh points, an a priori bound for the numerical solution, fractional calculus estimates, and a Gronwall inequality for weakly singular kernels.

发表机构

• CIMFAV - Ingemat, Facultad de Ingeniería, Universidad de Valparaíso（瓦尔帕莱索大学工程学院）
• Aix-Marseille Univ, CNRS, AMSE（艾克斯-马赛大学）
• Centro de Matemática, Facultad de Ciencias, Universidad de la República（乌拉圭共和国大学理学院数学中心）

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