具有正对角元的 $2\times 2$ 三角矩阵上的 Karcher 均值
The Karcher Mean on $2\times 2$ Triangular Matrices with Positive Diagonal Entries
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- Auburn University（奥本大学）
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中文总结 AI 辅助
本文针对正对角元上三角矩阵群，推导了 $\operatorname{UT}_2$ 上 Karcher 均值的闭式解、投影迭代收敛阈值及 log-Euclidean 均值公式，并推广了非收敛例子。
中文摘要 AI 辅助
设 $\operatorname{UT}_n$ 表示所有 $n\times n$ 实上三角矩阵且对角元均为正数的群。我们在 $\operatorname{UT}_2$ 上推导出 Karcher 均值的闭式解析表达式，并获得了固定初始对角元时投影均值迭代的尖锐收敛阈值，以及任意初始点的充分收敛条件。此外，我们得到了 log-Euclidean 均值的显式公式，并在 $\operatorname{UT}_2$ 上建立了 Karcher 均值的 Lie--Trotter 型公式。对于 $\operatorname{UT}_n$，我们推导出 Karcher 方程每个解的对角元及第一超对角元，并将 $\operatorname{UT}_2$ 上的非收敛例子推广到 $\operatorname{UT}_n$。
英文摘要
Let $\operatorname{UT}_n$ denote the group of $n\times n$ real upper triangular matrices with positive diagonal entries. We derive a closed-form analytic expression for the Karcher mean on $\operatorname{UT}_2$ and obtain a sharp convergence threshold for the projection mean iteration with fixed initial diagonal, together with a sufficient convergence condition for arbitrary initial points. In addition, we obtain explicit formulas for the log-Euclidean mean and establish a Lie--Trotter type formula for the Karcher mean on $\operatorname{UT}_2$. For $\operatorname{UT}_n$ we derive the diagonal and first superdiagonal entries of every solution of the Karcher equation and transfer nonconvergence examples from $\operatorname{UT}_2$.
