发表机构
Mathematics Division, School of advanced science and languages, VIT Bhopal University; Department of Mathematics, Shanghai University（VIT博帕尔大学高等科学与语言学院数学系; 上海大学数学系）
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本文研究首一不可约多项式的合成指数，证明指数整除性并给出精确幂次，进而应用于判定多项式迭代的单生成性及数域塔中的单生成数域个数。
AI 中文摘要
给定一个具有根 $\theta$ 的首一不可约多项式 $f(x)\in\mathbb Z[x]$，其指数是指 $\mathbb Z[\theta]$ 在 $\mathbb Q(\theta)$ 的代数整数环中的指数。进一步地，若 $f(x)$ 的指数为 $1$，则称 $f(x)$ 是单生成的。在本文中，我们证明了 $f(x)$ 的指数总是整除 $f(g(x))$ 的指数，其中 $f(x), g(x)\in \mathbb Z[x]$。此外，我们给出了 $f(x)$ 的指数整除 $f(g(x))$ 的指数的精确幂次。同时，我们提供了 $f(g(x))$ 单生成性的一个必要条件。作为我们结果的一个应用，我们证明了多项式 $f(x)$ 的 $n$ 重合成 $f^n(x)=(f\circ f\cdots\circ f)(x)$ 对所有 $n\in\mathbb{N}$ 都是单生成的，当且仅当序列 $\langle I_n\rangle$ 收敛，其中 $I_n$ 是 $f^n(x)$ 的指数。此外，我们证明了对给定的 $n\in\mathbb{N}$，若 $I_n$ 是 $m^{\text{th}}$ 次幂自由整数，则由多项式 $f(x)\in\mathbb Z[x]$ 的 $n$ 次迭代定义的 $n$ 层塔 $\mathbb Q\subseteq K_1 \subseteq\cdots \subseteq K_{n-1} \subseteq K_n$ 包含至少 $\max\{\lfloor n-\log_{°f}m \rfloor,0\}$ 个单生成数域。
英文摘要
The index of a given monic irreducible polynomial $f(x)\in\mathbb Z[x]$ having a root $θ$ is the index of $\mathbb Z[θ]$ in the ring of algebraic integers of $\mathbb Q(θ).$ Further, $f(x)$ is monogenic if its index is $1$. In this article, we prove that the index of $f(x)$ always divides the index of $f(g(x)),$ where $f(x), g(x)\in \mathbb Z[x]$. Additionally, we give the precise power of the index of $f(x)$ dividing the index of $f(g(x))$. Also, we provide a necessary condition for the monogenity of $f(g(x))$. As an application of our results, we prove that the $n$-fold composition $f^n(x)=(f\circ f\cdots\circ f)(x)$ of a polynomial $f(x)$ is monogenic for all $n\in\mathbb{N}$ if and only if the sequence $\langle I_n\rangle$ is convergent, where $I_n$ is the index of $f^n(x)$. Moreover, we show that for a given $n\in\mathbb{N}$, if $I_n$ is $m^{\text{th}}$ power free integer, then the $n$-tower $\mathbb Q\subseteq K_1 \subseteq\cdots \subseteq K_{n-1} \subseteq K_n,$ defined by $n$ iterates of a polynomial $f(x)\in\mathbb Z[x]$ contains at least $\max\{\lfloor n-\log_{°f}m \rfloor,0\}$ monogenic number fields.
