单生成性的一种局部方法及其在 Lenny Jones 猜想中的应用

中文摘要 AI 辅助

单生成多项式的研究是代数数论中的一个经典问题。现有的判定多项式是否为单生成的准则通常依赖于判别式计算以及诸如 Dedekind 准则、Newton 多边形或赋值论技术等方法。在本文中，我们为任意首一不可约多项式的根所生成的序的 $p$-极大性发展了一个一般的局部准则。作为应用，我们将其应用于形如 $f(X)=X^n+A(BX+1)^m$ 的不可约多项式，其中 $1\le m<n$，$\gcd(n,mB)=1$，且 $A,B\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$。我们证明 $f$ 是单生成的当且仅当 $A$ 和 $n^n+(-1)^{n+m}B^n(n-m)^{n-m}m^mA$ 都是无平方因子的。这为 \cite{KK} 的主要定理提供了新的证明，从而证明了 Lenny Jones 的猜想 \cite[猜想 4.1]{LJ}。此外，我们获得了不可约非单生成多项式的显式无限族，包括三项式、四项式和幂复合族。

英文摘要

The study of monogenic polynomials is a classical problem in algebraic number theory. Existing criteria for deciding whether a polynomial is monogenic typically rely on discriminant computations together with methods such as Dedekind's criterion, Newton polygons, or valuation-theoretic techniques. In this paper, we develop a general local criterion for the $p$-maximality of orders generated by roots of arbitrary monic irreducible polynomials. As an application, we apply this to irreducible polynomials of the type $f(X)=X^n+A(BX+1)^m,$ where $1\le m<n$, $\gcd(n,mB)=1$, and $A,B\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$. We show that $f$ is monogenic if and only if both $A~\text{and}~n^n+(-1)^{n+m}B^n(n-m)^{\,n-m}m^mA$ are square-free. This provides a new proof of the main theorem of \cite{KK}, thereby proving Lenny Jones' conjecture \cite[Conjecture 4.1]{LJ}. Furthermore, we obtain explicit infinite families of irreducible non-monogenic polynomials, including trinomial, quadrinomial, and power-compositional families.

发表机构

• Radboud University（拉德堡德大学）
• Shanghai University（上海大学）

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