$\mathbb{Z}^d$ 上最近邻随机游走首次返回时间的随机占优
Stochastic dominance of first return times for nearest-neighbor random walks on $\mathbb{Z}^d$
- National Changhua University of Education（国立彰化师范大学）
- Academia Sinica（中央研究院）
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AI总结：
本文证明：在 $\mathbb{Z}^d$ 上，若概率向量 $\mathbf{h}'$ 优超 $\mathbf{h}''$，则最近邻随机游走首次返回时间 $T^{\mathbf{h}'}$ 随机小于 $T^{\mathbf{h}''}$，且简单随机游走的首次返回时间随机最大。
AI中文摘要：
对于一个 $d$ 维概率向量 $\mathbf{h}=(h_1,\dots, h_d)$，令 $(S^{\mathbf{h}}_n)_{n\geq 0}$ 为 $\mathbb{Z}^d$ 上的最近邻随机游走，使得每一步以概率 $\frac{1}{2} h_i$ 沿第 $i$ 维移动到两个最近邻之一（$i=1,\dots, d$）。令 $T^{\mathbf{h}}=\inf\{n\geq 1: S^{\mathbf{h}}_n=(0,\dots,0)\}$，即首次返回原点的时间。对于两个 $d$ 维概率向量 $\mathbf{h}'$ 和 $\mathbf{h}''$，且前者优超后者，我们证明 $T^{\mathbf{h}'}$ 在随机序意义下小于 $T^{\mathbf{h}''}$。特别地，$d$ 维简单随机游走的首次返回时间在随机序意义下大于所有 $d$ 维概率向量 $\mathbf{h}$ 对应的 $T^{\mathbf{h}}$。
英文摘要：
For a $d$-dimensional probability vector $\mathbf{h}=(h_1,\dots, h_d)$, let $(S^{\mathbf{h}}_n)_{n\geq 0}$ be a nearest-neighbor random walk on $\mathbb{Z}^d$ such that at each step, it moves to one of the two nearest neighbors in the $i$-th dimension with probability $\frac{1}{2} h_i$ ($i=1,\dots, d$). Let $T^{\mathbf{h}}=\inf\{n\geq 1: S^{\mathbf{h}}_n=(0,\dots,0)\}$, the first return time to the origin. For two $d$-dimensional probability vectors $\mathbf{h}'$ and $\mathbf{h}''$ with the former majorizing the latter, we show that $T^{\mathbf{h}'}$ is stochastically smaller than $T^{\mathbf{h}''}$. In particular, the first return time for the $d$-dimensional simple random walk is stochastically larger than $T^{\mathbf{h}}$ for all $d$-dimensional probability vectors $\mathbf{h}$.
