有向图的 $k$-强定向的度条件
Degree conditions for $k$-strong orientations of digraphs
- School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
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AI总结：
本文证明有向图存在 $k$-强定向的尖锐度条件，包括最小半度和 Woodall 型条件，并确定最小总度阈值，结果在部分情形下推广到 $k$ 与 $n$ 成比例。
AI中文摘要：
Jackson 和 Thomassen 猜想每个 $2k$-强有向图都包含一个生成 $k$-强定向子有向图。我们证明了存在这样的子有向图的尖锐度条件。对于每个固定的正整数 $k$ 和所有足够大的 $n$，每个满足 $\delta^0(D)\ge\lfloor(n+k-1)/2\rfloor$ 的 $n$ 顶点有向图 $D$ 都承认一个 $k$-强定向。即使对于 $D$ 本身是 $k$-强这一更弱的结论，这个阈值也是最优的。我们还证明了对于每个固定的正整数 $k$ 和所有足够大的 $n$，一个尖锐的 Woodall 型类似结果：如果对于每条缺失弧 $xy$ 有 $d_D^+(x)+d_D^-(y)\ge n+2k-2$，则 $D$ 承认一个 $k$-强定向，并且这个界也是最优的。作为进一步的结果，我们确定了尖锐的最小总度阈值。最后，半度结果在 $k\le\alpha n$ 时也成立，其中 $0<\alpha<0.094882\ldots$ 为任意固定值。
英文摘要：
Jackson and Thomassen conjectured that every $2k$-strong digraph contains a spanning $k$-strong oriented subdigraph. We prove sharp degree conditions for the existence of such a subdigraph. For every fixed positive integer $k$ and all sufficiently large $n$, every $n$-vertex digraph $D$ with $δ^0(D)\ge\lfloor(n+k-1)/2\rfloor$ admits a $k$-strong orientation. This threshold is best possible even for the weaker conclusion that $D$ itself is $k$-strong. We also prove a sharp Woodall-type analogue for every fixed positive integer $k$ and all sufficiently large $n$: if $d_D^+(x)+d_D^-(y)\ge n+2k-2$ for every missing arc $xy$, then $D$ admits a $k$-strong orientation, and this bound is again best possible. As a further consequence, we determine the sharp minimum total degree threshold. Finally, the semi-degree result also remains valid when $k\leαn$ for every fixed $0<α<0.094882\ldots$.
