环的 n-平凡扩张的 Gorenstein 同调性质

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我们明确研究了环 R 关于 R-双模 M 的 n-平凡扩张 R⋉_nM 上的 Gorenstein 投射、内射和平坦模。假设对任意 1≤i≤n，有 fd(M^{⊗_R i}_R)<∞ 且 pd(_R M^{⊗_R i})<∞，以及 fd(Z(R)_{R⋉_nM})<∞ 且 pd(_{R⋉_nM}Z(R))<∞。证明了左 R⋉_nM-模 (X,f) 是 Gorenstein 投射的当且仅当序列 M^{⊗_R n+1}⊗_R X →(M⊗f)⋯(M^{⊗_R n}⊗f)→ M⊗_R X →f→ X 是正合的且 coker(f) 是 Gorenstein 投射左 R-模。作为推论，我们刻画了张量环上的 Gorenstein 投射、内射和平坦模。

英文摘要

We explicitly investigate Gorenstein projective, injective and flat modules over the $n$-trivial extension $R\ltimes_{n}M$ of a ring $R$ by an $R$-bimodule $M$. Assume that $fd(M^{\otimes_{R}i}_{R})<\infty$ and $pd(_{R}M^{\otimes_{R}i})<\infty$ for any $1\leq i\leq n$, $fd(\textbf{Z}(R)_{R\ltimes_{n}M})<\infty$ and $pd(_{R\ltimes_{n}M}\textbf{Z}(R))<\infty$. It is proven that a left $R\ltimes_{n}M$-module $(X,f)$ is Gorenstein projective if and only if the sequence $M^{\otimes_{R}n+1}\otimes_{R} X\stackrel{(M\otimes f) \cdots(M^{\otimes_{R}n}\otimes f)}\longrightarrow M\otimes_{R} X\stackrel{f}\longrightarrow X$ is exact and coker$(f)$ is a Gorenstein projective left $R$-module. As a consequence, we characterize Gorenstein projective, injective and flat modules over tensor rings.

发表机构

• School of Mathematics and Physics, Nanjing Institute of Technology（南京工程学院数理学院）

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