Weil-Deligne 表示的约化
Reduction of Weil-Deligne Representations
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中文总结 AI 辅助
本文完整刻画了两个二维半单连续表示模λ约化同构的条件，利用ℓ-adic表示与Weil-Deligne表示的对应，并给出广义Fermat方程模方法中的例子。
中文摘要 AI 辅助
设 $p$ 和 $\ell$ 是不同的奇素数。对于有限扩张 $F/\mathbb{Q}_p$，局部 Langlands 对应指出，$\text{GL}_n(F)$ 的不可约光滑表示与 Weil 群 $W_F$ 的 $n$ 维、$\Phi$-半单 Weil--Deligne 表示之间存在典范双射。给定两个 $W_F$ 的二维、半单、连续表示 $\rho_1, \rho_2$，其像在 $\text{GL}_2(\mathcal{O}_K)$ 中，其中 $K/\mathbb{Q}_\ell$ 是带有极大理想 $\lambda \subset \mathcal{O}_K$ 的有限扩张，一个自然的问题是它们的模 $\lambda$ 约化 $\overline{\rho}_1$ 和 $\overline{\rho}_2$ 何时同构。在本文中，我们给出了约化同构的完整刻画。为此，我们首先利用 $W_F$ 的连续 $\ell$-adic 表示与 $\ell$-adic Weil--Deligne 表示之间的对应，描述这些表示的约化何时可分解或不可约。最后，我们给出一些在求解广义 Fermat 方程的模方法中出现的例子。
英文摘要
Let $p$ and $\ell$ be distinct odd primes. For a finite extension $F/\mathbb{Q}_p$, the local Langlands correspondence states that there is a canonical bijection between irreducible, smooth representations of $\text{GL}_n(F)$ and $n$-dimensional, $Φ$-semisimple Weil--Deligne representations of the Weil group $W_F$. Given two $2$-dimensional, semisimple, continuous representations $ρ_1, ρ_2$ of $W_F$ with images in $\text{GL}_2(\mathcal{O}_K)$, where $K/\mathbb{Q}_\ell$ is a finite extension with maximal ideal $λ\subset \mathcal{O}_K$, a natural question to ask is when their mod $λ$ reductions $\overlineρ_1$ and $\overlineρ_2$ are isomorphic. In this paper, we give a complete characterization of when the reductions are isomorphic. For this, we first give a description of when the reductions of these representations are decomposable or irreducible, utilizing the correspondence between continuous $\ell$-adic representations of $W_F$ and $\ell$-adic Weil--Deligne representations. We conclude with some examples which arise in the modular method for solving generalized Fermat equations.
发表机构
- Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
