在 $\F_{64}$ 上不存在亏格为五的极大曲线
Nonexistence of maximal curves of genus five over $\F_{64}$
- Universidade Federal de Mato Grosso（马托格罗索联邦大学）
- Universidade Estadual de Campinas（坎皮纳斯州立大学）
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AI总结：
本文证明了在有限域 $\F_{64}$ 上不存在亏格为五的极大曲线，从而确定了该域上极大曲线的亏格谱，并给出了 $N_{64}(5)=140$ 的结果。
AI中文摘要：
我们证明了在 $\F_{64}$ 上不存在亏格为五的极大曲线。因此，$N_{64}(5)=140$，并且 $\F_{64}$ 上极大曲线的亏格谱被确定。证明利用了 Cartier 算子的第三次迭代的消失性。我们证明了在特征为二的域上，满足此条件的亏格为五的非超椭圆曲线是非三边形的。其典范 theta 特征标定义了一个可分覆盖，次数为四，且有一个几何分支值。两种可能的分歧类型分别给出一个有理亚典范点或由三次预解式得到的点界。这两种情况都排除了在 $\F_{64}$ 上的极大性。
英文摘要：
We show that there is no maximal curve of genus five over $\F_{64}$. As a consequence, $N_{64}(5)=140$, and the genus spectrum of maximal curves over $\F_{64}$ is determined. The proof uses the vanishing of the third iterate of the Cartier operator. We prove that a nonhyperelliptic curve of genus five in characteristic two satisfying this condition is nontrigonal. Its canonical theta characteristic defines a separable cover of degree four with one geometric branch value. The two possible ramification types give either a rational subcanonical point or a point bound obtained from the cubic resolvent. Both cases exclude maximality over $\F_{64}$.
