Christophersen问题在单项式代数中的解决
Christophersen's problem for monomial algebras
- Universidad de La Serena（拉塞雷纳大学）
- Universidad de Talca（塔尔卡大学）
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AI总结：
本文在单项式代数类中解决了Christophersen问题，利用单项式理想的不可约分解组合结构证明了自同构群维数下界并刻画了等号情形，还给出了可约与不可约情形下的更强下界及达到者。
AI中文摘要：
Christophersen问题预测：在特征为零的代数闭域上，一个维数为ℓ的有限维局部代数A的自同构群的连通分支的维数至少为ℓ-1，且等号成立当且仅当A同构于k[t]/(t^ℓ)。我们在单项式代数类中解决了这一问题。利用单项式理想的不可约不可约分解的组合结构，我们证明了所预测的不等式并刻画了等号成立的情形。我们进一步根据定义单项式理想是可约的还是不可约的，获得了更强的下界，并确定了达到每个下界的所有单项式代数。
英文摘要：
Christophersen's problem predicts that the connected component of the automorphism group of a finite-dimensional local algebra $A$ of dimension $\ell$ over an algebraically closed field of characteristic zero has dimension at least $\ell-1$, with equality if and only if $A$ is isomorphic to $\mathbf{k}[t]/(t^{\ell})$. We settle this problem in the class of monomial algebras. Using the combinatorial structure of the irredundant irreducible decomposition of a monomial ideal, we prove the predicted inequality and characterize the equality case. We further obtain stronger lower bounds depending on whether the defining monomial ideal is reducible or irreducible, and we determine all monomial algebras attaining each of these bounds.
