具有常数量曲率的Kähler--Ricci收缩子刚性

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设$(M^{2m},g,f,J)$为一个完备的梯度Kähler--Ricci收缩子，满足$\n\n\operatorname{Ric}+\nabla^2 f=\frac12 g$\n\n。我们证明，若数量曲率为常数，则该孤子是刚性的。更精确地说，存在整数$k\in\{0,\ldots,m\}$使得$R\equiv k$且$(M^{2m},g,J)\cong\bigl(N^{2k}\times\mathbb C^{m-k}, g_N+g_{\mathrm{Euc}},J_N\oplus J_0\bigr)$，其中$(N^{2k},g_N,J_N)$是Kähler--Einstein的且$\operatorname{Ric}_{g_N}=\frac12 g_N$。作为证明的一部分，我们建立了一个黎曼刚性判据：对于具有常数量曲率的完备非稳态梯度Ricci孤子，条件$\mathcal{L}_{\nabla f}\operatorname{Ric}=0$蕴含径向平坦性，从而蕴含刚性。

英文摘要

Let $(M^{2m},g,f,J)$ be a complete gradient Kähler--Ricci shrinker satisfying \[ \operatorname{Ric}+\nabla^2 f=\frac12 g. \] We prove that if the scalar curvature is constant, then the soliton is rigid. More precisely, there exists an integer $k\in\{0,\ldots,m\}$ such that \[ R\equiv k \] and \[ (M^{2m},g,J)\cong \bigl(N^{2k}\times\mathbb C^{m-k}, g_N+g_{\mathrm{Euc}},J_N\oplus J_0\bigr), \] where $(N^{2k},g_N,J_N)$ is Kähler--Einstein and \[ \operatorname{Ric}_{g_N}=\frac12 g_N. \] As part of the proof, we establish a Riemannian rigidity criterion: for a complete nonsteady gradient Ricci soliton with constant scalar curvature, the condition $\mathcal{L}_{\nabla f}\operatorname{Ric}=0$ implies radial flatness and hence rigidity.

发表机构

• East China Normal University（华东师范大学）
• Xiamen University（厦门大学）
• Zhejiang Sci-Tech University（浙江理工大学）
• Universidade Federal Fluminense（弗鲁米嫩塞联邦大学）

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