发表机构
Brandeis University（布兰迪斯大学）
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本文提出一种统一方法，利用对角格轨迹的逐次极小值精确计算扭曲一致丢番图逼近的Hausdorff维数，涵盖端点集、水平集及零满定律，并推广了多个已知结果。
AI 中文摘要
我们发展了一种一般方法，用于任意固定实矩阵的一致扭曲度量丢番图逼近。利用相关对角格轨道的所有逐次极小值，我们估计格点计数，并考虑每个方向上的聚集效应。这些计数的比值给出了对于一大类函数 $\psi$（包括除有限多个幂函数 {$T^{-\tau}$, $\tau>0$} 之外的所有函数）的扭曲 $\psi$-Dirichlet 向量集合的精确 Hausdorff 维数。我们获得了通过对 $c>0$ 的扭曲 $c\psi$-Dirichlet 向量集合取交集和并集得到的端点集合的 Hausdorff 维数公式，并证明了取交集不会导致维数下降。此外，我们还获得了一致丢番图指数的水平集的 Hausdorff 维数。另外，我们证明了 $\psi$-Dirichlet 集合的一般 Hausdorff 测度的零-满定律。应用方面，我们恢复了 Kim-Liao 一维公式，加强了 Aggarwal 的质量逃逸上界，重现了 Moshchevitin 和第二作者的度量准则，并给出了上述陈述的某些推广。
英文摘要
We develop a general method for uniform twisted metric Diophantine approximation with an arbitrary fixed real matrix. Using all successive minima of the associated diagonal lattice trajectory, we estimate lattice-point counts, accounting for clustering in every direction. Ratios of these counts give exact Hausdorff dimensions of sets of twisted $ψ$-Dirichlet vectors for a large class of functions $ψ$, including all except finitely many power functions {$T^{-τ}$, $τ>0$}. We obtain Hausdorff dimension formulae for the endpoint sets obtained by taking the intersection and union of the sets of twisted $cψ$-Dirichlet vectors over $c>0$, and prove that taking the intersections causes no dimension drop. Furthermore, we obtain Hausdorff dimensions of level sets of the uniform Diophantine exponent. In addition, we prove zero-full laws for general Hausdorff measures of $ψ$-Dirichlet sets. Applications recover the one-dimensional Kim-Liao formulae, strengthen Aggarwal's escape-of-mass upper bound, reproduce the metric criteria of Moshchevitin and the second author and give certain extensions of the above statements.
Comments73 pages
