AI 中文总结
本文研究多对称函数代数中 plethystic 基在纯张量基下的展开，通过 plethysm $h_n[p_r]$ 的 $h$-展开及词统计量与算盘方法，给出 $H, E, E^+$ 的展开并借助 polywrapping block tabloids 解释结果。
AI 中文摘要
多对称函数代数（PSym）被定义为对称函数代数（Sym）的若干副本的张量积，其中第 $i$ 个副本的变量按 $i$ 缩放。构造 PSym 基的一种方法是从 Sym 的基 $\{f_\lambda\}$ 出发，并考虑由该基产生的所有纯张量。Asvin G 和 Andrew O'Desky 描述了四个非纯张量基族，即 $H, E, E^+$ 和 $P$，我们称之为 plethystic 基。在本文中，我们研究 plethystic 基在纯张量基 $\{h^\otimes_\tau\}$ 和 $\{e^\otimes_\tau\}$ 中的展开，并通过称为 polywrapping block tabloids 的组合对象解释结果。$H, E$ 和 $E^+$ 在 $h^\otimes$ 和 $e^\otimes$ 中的展开是通过 plethysm $h_n[p_r]$ 的 $h$-展开找到的。我们使用词上的统计量计算此 $h$-展开，并通过算盘（abacus）方法证明之。
英文摘要
The algebra of polysymmetric functions (PSym) is defined as the tensor product of copies of the algebra of symmetric functions (Sym) where the $i$th copy has variables scaled by $i$. One way to construct a basis of PSym is to start with a basis $\{f_λ\}$ of Sym and consider all pure tensors arising from this basis. Asvin G and Andrew O'Desky described four families of non-pure tensor bases, namely $H, E, E^+$ and $P$, which we call plethystic bases. In this paper, we study the expansions of the plethystic bases into the pure-tensor bases $\{h^\otimes_τ\}$ and $\{e^\otimes_τ\}$, and interpret the results via combinatorial objects called polywrapping block tabloids. The expansions of $H, E$ and $E^+$ in $h^\otimes$ and $e^\otimes$ are found via the $h$-expansion of the plethysm $h_n[p_r]$. We compute this $h$-expansion using a statistic on words and prove it through abacus methods.
Comments47 pages, 8 example matrices
