Gorenstein 环的零因子
Zero divisors of Gorenstein Rings
- Savitribai Phule Pune University（萨维特里拜·普莱·浦那大学）
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AI总结：
本文通过计数零因子图中支配核的核顶点数，证明 Artinian 环为 Gorenstein 环当且仅当其伴随类图与压缩零因子图同构，并解答了 Anderson 和 LaGrange 关于图同构的一个问题。
AI中文摘要：
设 $R$ 为交换 Artinian 环。我们考虑与 $R$ 相关的两个图，即压缩零因子图 $\Gamma_E(R)$ 和伴随类图 $\Gamma_A(R)$。将零因子图的顶点集划分为其核与边界，我们计算支配核的核顶点数。该计数是一个图不变量，我们对 $\Gamma(R)$、$\Gamma_A(R)$ 和 $\Gamma_E(R)$ 估计该计数。我们证明 $\Gamma_A(R)$ 的计数下界为 $\Gamma_E(R)$ 的计数，且当下界恰好在 $R$ 为 Gorenstein 环时达到。作为推论，我们得到 $R$ 为 Gorenstein 环当且仅当 $\Gamma_A(R)\cong\Gamma_E(R)$ 作为图同构，且该同构是任意的，而不仅仅是自然的压缩映射。利用相同的计数技巧，我们随后回答了 Anderson 和 LaGrange 关于 Artinian 环的一个问题，证明 $\Gamma(R)\cong\Gamma_E(R)$ 当且仅当 $R\cong \mathbb Z_2^{\\,n}$（对某个 $n\ge2$），或 $R\cong\mathbb Z_4$，或 $R\cong\mathbb Z_2[x]/(x^2)$。
英文摘要：
Let $R$ be a commutative Artinian ring. We consider two graphs associated to $R$, namely the compressed zero-divisor graph $Γ_E(R)$ and the associate class graph $Γ_A(R)$. Partitioning the vertex set of a zero-divisor graph into its core and its boundary, we count the core vertices that dominate the core. This count is a graph invariant, and we estimate it for $Γ(R)$, $Γ_A(R)$ and $Γ_E(R)$. We prove that the count for $Γ_A(R)$ is bounded below by the count for $Γ_E(R)$, and that the lower bound is attained precisely when $R$ is Gorenstein. As a consequence we obtain that $R$ is Gorenstein if and only if $Γ_A(R)\congΓ_E(R)$ as graphs, the isomorphism being an arbitrary one and not merely the natural compression map. Using the same counting technique we then answer, for Artinian rings, a question of Anderson and LaGrange by showing that $Γ(R)\congΓ_E(R)$ if and only if $R\cong \mathbb Z_2^{\,n}$ for some $n\ge2$, or $R\cong\mathbb Z_4$, or $R\cong\mathbb Z_2[x]/(x^2)$.
