发表机构
Wofford College（沃福德学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明在Siegel零点存在时，等差数列素数计数函数的渐近式对更大的模q成立，并给出平均意义下的Elliott-Halberstam型结果，改进了2003年Friedlander-Iwaniec的界。
AI 中文摘要
设 $\chi$ 为模 $D$ 的Dirichlet特征，$L(s,\chi)$ 为其关联的 $L$-函数，并令 $\psi(x,q,a)$ 为通常的Chebyshev素数计数函数，用于计数等差数列 $a$ (mod $q$) 中且满足 $(a,q)=1$ 的素数。设 $\chi$ 为模 $D$ 的本原特征，且 $\nu>0$ 为小量。我们证明，若 $L(s,\chi)$ 在 $s=\beta=1-\frac{1}{\eta\log D}$ 处有Siegel零点，其中 $\eta>\eta_0(\nu)$ 且 $\eta_0(\nu)$ 足够大，则存在一个 $x$ 的范围，使得渐近式 $$\psi(x,q,a)=\frac{\psi(x)}{\phi(q)}\left[1+O(\varepsilon_{\eta_0})-\chi\left(\frac{aD}{(q,D)}\right)\right]$$ 对 $q<x^{\frac{30}{59}-\nu}$ 成立。我们还表明，若对 $q$ 的一个范围取平均，则可得到 $q$ 的略优界，发现一个Elliott-Halberstam型结果：对 $q\sim Q$ 且 $Q<x^{\frac{16}{31}-\nu}$ 成立。这改进了Friedlander和Iwaniec于2003年要求 $q<x^{\frac{233}{462}}$ 的结果，并基于Sachpazis近期的工作。
英文摘要
Let $χ$ be a Dirichlet character mod $D$ with $L(s,χ)$ its associated $L$-function, and let $ψ(x,q,a)$ be, as usual, Chebyshev's prime-counting function for the primes of the arithmetic progression $a$ (mod $q$) with $(a,q)=1$. Let $χ$ be a primitive character modulo $D$, and let $ν>0$ be small. We prove that if $L(s,χ)$ has a Siegel zero at $s=β=1-\frac{1}{η\log D}$ with $η>η_0(ν)$ for some large $η_0(ν)$, there exists a range of $x$ for which the asymptotic $$ψ(x,q,a)=\frac{ψ(x)}{ϕ(q)}\left[1+O(\varepsilon_{η_0})-χ\left(\frac{aD}{(q,D)}\right)\right]$$ holds for $q<x^{\frac{30}{59}-ν}$. We also show slightly better bounds for $q$ if we take an average over a range of $q$, finding an Elliott-Halberstam-type result for $q\sim Q$ on the range $Q<x^{\frac{16}{31}-ν}$. This improves on a 2003 result of Friedlander and Iwaniec that requires $q<x^{\frac{233}{462}}$ and builds on recent work of Sachpazis.
CommentsThis is a reworking of my previous paper (https://arxiv.org/abs/2311.12470) on Siegel zeroes and primes in arithmetic progressions in light of Sachpazis' new work (https://arxiv.org/abs/2511.16452)
