Zhang-Kawazumi不变量的一个一致下界及其在Bogomolov猜想中的应用
A uniform lower bound for the Zhang-Kawazumi invariant and applications to the Bogomolov conjecture
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- Université de Caen Normandie（卡昂诺曼底大学）
- CNRS（法国国家科学研究中心）
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中文总结 AI 辅助
本文证明了紧致黎曼曲面Zhang-Kawazumi不变量的统一下界，并应用于Bogomolov猜想，得到自交数与高度界的新下界。
中文摘要 AI 辅助
我们证明，对于亏格$g\ge 2$的紧致连通黎曼曲面$X$，Zhang-Kawazumi不变量$\varphi(X)$严格大于\\[\frac{g(g+2)-(2g+1)H_g}{g-1},\\]其中$H_g=\sum_{k=1}^g \frac{1}{k}$表示第$g$个调和数。若$X$是超椭圆曲线，我们给出更强的界$\varphi(X)>\frac{g}{2}(H_g-1)$。证明依赖于$\varphi(X)$的一个新表达式，该表达式以$X$上光滑Hermitian矩阵值函数空间上的二次型表示，并在某些投影矩阵处求值。作为算术应用，我们推导出数域上亏格$g\ge 2$的光滑射影曲线的容许adelic度量典范丛$\omega_a$的自交数$\omega_a^2$的新下界，从而在Bogomolov猜想中获得新的均匀高度界。
英文摘要
We prove that the Zhang-Kawazumi invariant $φ(X)$ of a compact and connected Riemann surface $X$ of genus $g\ge 2$ is strictly larger than \[\frac{g(g+2)-(2g+1)H_g}{g-1},\] where $H_g=\sum_{k=1}^g \frac{1}{k}$ denotes the $g$-th harmonic number. If $X$ is hyperelliptic, we give the stronger bound $φ(X)>\frac{g}{2}(H_g-1)$. The proof relies on a new expression of $φ(X)$ in terms of a quadratic form on the space of smooth Hermitian matrix-valued functions on $X$, evaluated at certain projector matrices. As an arithmetic application, we deduce new lower bounds for the self-intersection number $ω_a^2$ of the admissible adelic metrized canonical bundle $ω_a$ of a smooth projective curve of genus $g\ge 2$ over a number field and hence new uniform height bounds in the Bogomolov conjecture.
