极小有理曲面的阿贝尔典范覆盖及 $\mathbb F_1$ 至次数 $8$
Abelian canonical covers of minimal rational surfaces and $\mathbb F_1$ up to degree $8$
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- Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）
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中文总结 AI 辅助
本文分类了极小度曲面及 $\mathbb P^2$、Hirzebruch 曲面的阿贝尔典范覆盖，完成了次数 $5$ 至 $8$ 的分类，给出了新覆盖族并计算了斜率累积点。
中文摘要 AI 辅助
我们分类了极小度光滑曲面的次数至多为 $8$ 的阿贝尔典范覆盖，以及未作为极小度曲面嵌入的 $\mathbb P^2$ 和 Hirzebruch 曲面的阿贝尔典范覆盖。设 $\pi: X \longrightarrow W$ 是极小度光滑曲面 $W$ 的阿贝尔典范覆盖，其群为 $G$，次数为 $n$。次数 $n \le 4$ 的情形此前已被分类；我们完成 $5 \le n \le 8$ 的图景：若 $n$ 为素数且 $n > 3$，或 $G=\mathbb Z_8$，则不存在这样的覆盖。对于 $G=\mathbb Z_6$、$\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ 和 $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_4$，我们给出完整的覆盖列表。仅出现 $W =\mathbb P^2$、$\mathbb F_0$ 和 $\mathbb F_1$。该列表包含若干具有无界 $p_g$ 的族，其中大多数是新的；对于一般的 $G=\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ 覆盖，$X$ 光滑，但对于 $G=\mathbb Z_6$ 以及除一个例外外的 $G=\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_4$ 情形，$X$ 奇异。当 $W$ 为 $\mathbb P^2$ 或未作为极小度曲面嵌入的 Hirzebruch 曲面时，我们证明阿贝尔典范覆盖仅存在于 $n=2$ 或 $G=\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ 的情形，并完整分类后者：它们构成无穷多个族，大多数是新的，具有无界 $p_g$，且大多数具有无界不规则度。所有这些 $X$ 的斜率 $K^2/\chi$ 在 $6$、$8$ 以及对于每个整数 $\alpha \ge 2$ 的 $8\alpha/(\alpha +1)$ 处累积。这些结果基于更一般的结果，适用于 $X$ 正规、局部 Gorenstein 且任意维数，以及 $W$ 光滑且 $p_g(W)=0$ 的情形：我们确定阿贝尔典范覆盖的哪些分支除子必须消失，并且对于 $\pi_*\mathcal O_X$ 分裂为线丛之和的典范覆盖，我们描述 $\pi_*\mathcal O_X$ 的 $\mathcal O_W$-模结构，并在 $W$ 为 $\mathbb P^2$ 或 Hirzebruch 曲面时完全计算它。
英文摘要
We classify abelian canonical covers of degree at most $8$ of smooth surfaces of minimal degree, and of $\mathbb P^2$ and Hirzebruch surfaces not embedded as surfaces of minimal degree. Let $π: X \longrightarrow W$ be an abelian canonical cover of a smooth surface of minimal degree $W$ with group $G$ and degree $n$. Degrees $n \le 4$ were classified earlier; we complete the picture for $5 \le n \le 8$: - No such covers exist if $n$ is prime and $n > 3$, nor if $G=\mathbb Z_8$. - For $G=\mathbb Z_6$, $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ and $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_4$ we give the complete list of covers. Only $W =\mathbb P^2$, $\mathbb F_0$ and $\mathbb F_1$ arise. The list contains several families with unbounded $p_g$, most of them new; $X$ is smooth for general covers with $G=\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$, but singular if $G=\mathbb Z_6$ and, with one exception, if $G=\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_4$. When $W$ is $\mathbb P^2$ or a Hirzebruch surface not embedded as a surface of minimal degree, we show that abelian canonical covers exist only for $n = 2$ or for $G =\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$, and we classify the latter completely: they form infinitely many families, most new, with unbounded $p_g$ and, most of them, with unbounded irregularity. The slopes $K^2/χ$ of all these $X$ accumulate at $6$, at 8, and at $8α/(α+1)$ for every integer $α\ge 2$. These results rest on more general ones, valid for $X$ normal, locally Gorenstein and of arbitrary dimension, and $W$ smooth with $p_g(W) = 0$: we determine which branch divisors of an abelian canonical cover must vanish, and, for canonical covers whose $π_*\mathcal O_X$ splits as a sum of line bundles, we describe the $\mathcal O_W$-module structure of $π_*\mathcal O_X$, computing it completely when $W$ is $\mathbb P^2$ or a Hirzebruch surface.
