强非局部 Allen--Cahn 方程中相互作用的锋面

中文摘要 AI 辅助

我们研究了在 $\R^n$（$n\geq 2$）中，强非局部区域 $s\in(0,\frac12)$ 下的分数阶 Allen--Cahn 方程的尖锐界面极限，其初始数据由有限多个嵌套的过渡层组成。我们确定了由此产生的锋面运动的耦合几何定律：每个速度包含分数平均曲率以及由其他锋面产生的非局部相互作用势。这些相互作用在锋面保持分离期间持续存在，这与临界区域 $s=\frac12$ 中的独立运动形成对比。假设耦合定律在给定时间区间内允许具有严格嵌套集合的光滑演化，我们证明 Allen--Cahn 解在远离移动锋面的区域局部一致收敛到相应的整数值相。

英文摘要

We study the sharp-interface limit of the fractional Allen--Cahn equation in $\R^n$, $n\geq 2$, in the strongly nonlocal regime $s\in(0,\frac12)$, for initial data consisting of finitely many nested transition layers. We identify a coupled geometric law for the motion of the resulting fronts: each velocity contains fractional mean curvature and a nonlocal interaction potential generated by the other fronts. These interactions persist while the fronts remain separated, in contrast to the independent motion in the critical regime $s=\frac12$. Assuming that the coupled law admits a smooth evolution with strictly nested sets on a given time interval, we prove that the Allen--Cahn solutions converge locally uniformly away from the moving fronts to the corresponding integer-valued phases.

发表机构

• The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）

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