AI 中文总结
本文为数域上约化群定义自守 $C^*$-代数，利用 Langlands 谱分解构造其到离散 Levi 数据相关算子的单射同态，并在 $\operatorname{GL}(n)$ 及其内形式情形证明其为同构。
AI 中文摘要
设 $G$ 是数域 $F$ 上的约化群。我们将 $G$ 的自守 $C^*$-代数 $C^*_{\rm aut}(G(\mathbb A))$ 定义为 $G(\mathbb A)$ 在 $L^2(G(F)\backslash G(\mathbb A))$ 上的完全自守表示的 $C^*$-代数像。利用关于离散 Levi 数据的 Langlands 谱分解，我们构造了一个单射 $*$-同态 \\[ C^*_{\rm aut}(G(\mathbb A)) \longrightarrow \bigoplus_{[M,\sigma]} K_{C_0(\widehat{A_M})} \left( \operatorname{Ind}_P^G C_0(\widehat{A_M},H_{M,\sigma}) \right)^{W(G,M,\sigma)}, \\] 其中 $[M,\sigma]$ 遍历离散 Levi 数据的结合类。当 $G$ 为 $\operatorname{GL}(n)$ 或其内形式时，我们证明该映射是 $C^*$-代数之间的同构。
英文摘要
Let $G$ be a reductive group over a number field $F$. We define $C^*_{\rm aut}(G(\mathbb A))$, the automorphic $C^*$-algebra of $G$, to be the $C^*$-algebraic image of the full automorphic representation of $G(\mathbb A)$ on $L^2(G(F)\backslash G(\mathbb A))$. Using the Langlands spectral decomposition with respect to discrete Levi data, we construct an injective $*$-homomorphism \[ C^*_{\rm aut}(G(\mathbb A)) \longrightarrow \bigoplus_{[M,σ]} K_{C_0(\widehat{A_M})} \left( \operatorname{Ind}_P^G C_0(\widehat{A_M},H_{M,σ}) \right)^{W(G,M,σ)}, \] where $[M,σ]$ ranges over the associate classes of discrete Levi data. When $G$ is $\operatorname{GL}(n)$ or an inner form of it, we prove that this map is an isomorphism of $C^*$-algebras.
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