正特征中的拟$F$-分裂本原辛簇
Quasi-$F$-split primitive symplectic varieties in positive characteristic
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中文总结 AI 辅助
本文证明正特征中射影超凯勒簇的良好约化是拟$F$-分裂当且仅当Frobenius分裂，并推广到本原辛簇，给出Hodge-良性的开放性及Hilbert概型和广义Kummer簇的形变性质。
中文摘要 AI 辅助
设$X$为维数$2n\geq4$的射影超凯勒簇的良好约化。我们证明$X$是拟$F$-分裂的当且仅当它是Frobenius分裂的，等价地，当$\operatorname{H}^2_{\operatorname{crys}}(X/W)[1/p]$具有零斜率部分时。因此其拟$F$-分裂高度为$1$或$\infty$。证明结合了Verbitsky斜率比较与Witt--Euler恒等式，且不需要晶体上同调的无挠性。同样的二分法也适用于特征$p$中的本原辛簇，并且Hodge-良性在光滑真族中是开放的。Hilbert概型$S^{[n]}$（$p>n$）和广义Kummer簇$K_n(A)$（$p>n+1$）的Hodge-形变保持本原辛性，具有无挠晶体上同调和无障碍的混合特征形式形变。
英文摘要
Let $X$ be the good reduction of a projective hyperkähler variety of dimension $2n\geq4$. We prove that $X$ is quasi-$F$-split if and only if it is Frobenius split, equivalently if $\operatorname{H}^2_{\operatorname{crys}}(X/W)[1/p]$ has a slope-zero part. Thus its quasi-$F$-split height is $1$ or $\infty$. The proof combines a Verbitsky slope comparison with a Witt--Euler identity and requires no crystalline torsion-freeness. The same dichotomy holds for primitive symplectic varieties in characteristic $p$, and Hodge-goodness is open in smooth proper families. Hodge-deformations of Hilbert schemes $S^{[n]}$ of $K3$ surfaces ($p>n$) and generalised Kummer varieties $K_n(A)$ ($p>n+1$) remain primitive symplectic, with torsion-free crystalline cohomology and unobstructed mixed-characteristic formal deformations.
发表机构
- Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）
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