发表机构
University of Illinois（伊利诺伊大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文针对 Pólya 和 Szegő 关于对数容量与牛顿容量的猜想，提出条件性证明路径，并利用 Baernstein 星函数对称化技术证明球在 $L^p$ 范数下的极值性，为该猜想提供支持证据。
AI 中文摘要
Pólya 和 Szegő 在 1945 年猜想，在所有具有给定对数容量的平面集合中，圆盘具有最大的静电容量。这个问题自然推广到高维中的球和牛顿容量。该猜想至今仍未解决。本文建立了一个条件性结果：如果在具有 Neumann 边界条件的水平带中的所有低维集合中，平衡势的 Dirichlet 积分的横向分量能被证明对低维球最小，则该猜想将成立。作为对这一后一性质的支持证据，本文通过 Baernstein 星函数对称化技术，展示了球在势的 $L^p$ 范数下的极值性。
英文摘要
Pólya and Szegő conjectured in 1945 that the disk achieves the largest electrostatic capacity among all planar sets with given logarithmic capacity. This question generalizes naturally to balls and Newtonian capacities in higher dimensions. The conjecture remains open. This paper establishes a conditional result: the conjecture would follow if among all lower dimensional sets in a horizontal strip with Neumann boundary conditions, the transverse component of the Dirichlet integral of the equilibrium potential could be shown minimal for the lower dimensional ball. As supporting evidence toward this latter property, the paper shows extremality of the ball for $L^p$-norms of the potentials, via Baernstein star-function symmetrization techniques.
Comments45 pages, 4 figures
