高维中的可见性问题
Visibility problem in higher dimensions
- Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）
- School of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University（广西师范大学数学与统计学院）
- School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
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AI总结：
本文证明平面可见维数上界可推广到高维，结合Orponen-Rutar的尖锐界，得出高维紧集可见部分维数上界为d-1/2，从而解决其问题1.9。
AI中文摘要：
我们证明，对所有紧致平面集的可见部分的豪斯多夫维数，一个几乎处处成立的上界 $b\geq 1$ 蕴含着对所有 $\mathbb{R}^d$（$d\geq3$）中的紧致集 $K$ 的可见部分的上界 $d-2+b$。将 Orponen 和 Rutar 的尖锐平面界 $b=3/2$（见文献 \cite{OrponenRutar2026}）代入，可得对几乎所有 $e\in S^{d-1}$，$\dim_H \mathrm{Vis}_e(K)\leq d-1/2$。这将尖锐地回答他们的问题 1.9 在所有维度中的情形。
英文摘要：
We show that an almost-everywhere upper bound $b\geq 1$ for the Hausdorff dimension of visible parts of all compact planar sets implies the upper bound $d-2+b$ for visible parts of all compact sets $K$ in $\mathbb{R}^d$, $d\geq3$. Inserting the sharp planar bound $b=3/2$ of Orponen and Rutar \cite{OrponenRutar2026} gives $\dim_H \mathrm{Vis}_e(K)\leq d-1/2$ for almost every $e\in S^{d-1}$. This would answer their Question 1.9 sharply in all dimensions.
