椭圆曲线上弱全纯函数基的生成函数
On a generating function of the basis of weakly holomorphic functions on an elliptic curve
- The U.S. Merchant Marine Academy（美国商船学院）
- The City University of New York（纽约市立大学）
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AI总结：
本文证明了一个生成函数恒等式，定义了椭圆曲线上弱全纯模函数的规范基，并利用其与Niebur-Poincaré级数的比较，揭示了Kloosterman zeta函数特殊值生成函数的调和Maass形式性质。
AI中文摘要：
设 $\Gz$ 是一个余有限 Fuchs 群，其商空间 $\Gz\backslash\HH$ 的亏格为一且只有一个尖点，标准化为无穷远点且宽度为一。设 $\Xg$ 为其光滑紧化，它是 $\CC$ 上的椭圆曲线。设 $x,y$ 为 $\Xg$ 上函数域的规范生成元，它们在尖点处分别有阶为 $2,3$ 的极点，并满足广义 Weierstrass 关系 $y^2+(a_1x+a_3)y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$。设 $f$ 为 $\Gz$ 的唯一的（相差一个常数因子）权为二的尖点形式，归一化使得相关的全纯微分是 $\omega=dx/(2y+a_1x+a_3)$。在此设定下，我们证明生成函数恒等式 \\[ \frac{\bigl(y(\tau)+y(z)+a_1x(z)+a_3\bigr)f(z)}{x(z)-x(\tau)}=\sum_{m\ge0}\Phi_m(\tau)q_z^m \\] 定义了 $\Xg$ 上的一族弱全纯模函数 $\{\Phi_m\}_{m\ge0}$，使得集合 $\{\Phi_0\}\cup\{\Phi_m\}_{m\ge2}$ 是 $\Xg$ 上仅在尖点处有极点的弱全纯模函数空间 $M_{0,\Gz}^{!,\infty}$ 的一个规范基。作为应用，通过比较族 $\{\Phi_m\}_{m\ge0}$ 的生成函数与 Niebur--Poincaré 级数的生成函数，我们证明 Kloosterman zeta 函数在 $1$ 处的特殊值的生成函数是某个权为二的调和 Maass 形式的全纯部分（相差一个加性常数）。
英文摘要：
Let $\Gz$ be a cofinite Fuchsian group whose quotient $\Gz\backslash\HH$ has genus one and a single cusp, normalized to be at $\infty$ with width one. Let $\Xg$ be its smooth compactification, which is an elliptic curve over $\CC$. Let $x,y$ be canonical generators of the function field on $\Xg$, which have poles of order $2,3$ respectively at the cusp and which {satisfy} a generalized Weierstrass relation $y^2+(a_1x+a_3)y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$. Let $f$ be the unique (up to scale) weight two cusp form for $\Gz$, normalized so that the associated holomorphic differential is $ω=dx/(2y+a_1x+a_3)$. With all this, we prove that the generating function identity \[ \frac{\bigl(y(τ)+y(z)+a_1x(z)+a_3\bigr)f(z)}{x(z)-x(τ)}=\sum_{m\ge0}Φ_m(τ)q_z^m \] defines a family $\{Φ_m\}_{m\ge0}$ of weakly holomorphic modular functions on $\Xg$ such that the set $\{Φ_0\}\cup\{Φ_m\}_{m\ge2}$ is a canonical basis of the space $M_{0,\Gz}^{!,\infty}$ of weakly holomorphic modular functions on $\Xg$ with poles supported only at the cusp. As an application, by comparing the generating function of the family $\{Φ_m\}_{m\ge0}$ with the generating function of the Niebur--Poincaré series, we show that the generating function of the special values of the Kloosterman zeta function at $1$ is the holomorphic part of a certain weight two harmonic Maass form up to an additive constant.
