发表机构
CNRS, UMPA - ENS Lyon（法国国家科学研究中心，里昂高等师范学校数学与理论物理分析实验室）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文定义了从抽象共轭化子到自由交换群的同态，并研究有限生成自由群的共轭化子，明确其像为无限秩自由交换群，核为独石，从而推出所有真商为交换群，并应用于正则树自同构群中余紧格子的共轭化子，证明其非几乎单。
AI 中文摘要
对于每个群 $\Gamma$，我们定义了一个同态 $d^\Gamma: \mathrm{Comm}(\Gamma) \to \mathbb{Z}^{(\mathcal{FS})}$，从抽象共轭化子 $\mathrm{Comm}(\Gamma)$ 到以有限单群的同构类集合 $\mathcal{FS}$ 为基的自由交换群 $\mathbb{Z}^{(\mathcal{FS})}$。当 $\Gamma$ 是有限生成自由群 $F$ 时，我们研究同态 $d^\Gamma$。我们明确描述了 $d^F: \mathrm{Comm}(F) \to \mathbb{Z}^{(\mathcal{FS})}$ 的像，它是一个无限秩的自由交换群，并且我们证明其核是群 $\mathrm{Comm}(F)$ 的独石（monolith）。我们特别推导出 $\mathrm{Comm}(F)$ 的每个真商都是交换群。我们利用这一点来研究正则树自同构群中余紧格子的共轭化子，该共轭化子可视为 $\mathrm{Comm}(F)$ 的子群。我们证明该群在 $d^F$ 下的像再次是一个无限秩的自由交换群，特别表明该群不是几乎单群。
英文摘要
For every group $Γ$, we define a homomorphism $d^Γ: \mathrm{Comm}(Γ) \to \mathbb{Z}^{(\mathcal{FS})}$ from the abstract commensurator $\mathrm{Comm}(Γ)$ to the free abelian group $\mathbb{Z}^{(\mathcal{FS})}$ with basis the collection $\mathcal{FS}$ of isomorphism classes of finite simple groups. We investigate the homomorphism $d^Γ$ when $Γ$ is a finitely generated free group $F$. We explicitly describe the image of $d^F : \mathrm{Comm}(F) \to \mathbb{Z}^{(\mathcal{FS})}$, which is a free abelian group of infinite rank, and we show that the kernel is the monolith of the group $\mathrm{Comm}(F)$. We deduce in particular that every proper quotient of $\mathrm{Comm}(F)$ is abelian. We use this to study the commensurator of a cocompact lattice in the automorphism group of a regular tree, which can be seen as a subgroup of $\mathrm{Comm}(F)$. We show that the image of this group under $d^F$ is again a free abelian group of infinite rank, showing in particular this group is not virtually simple.
