有限群的有界轨道格表示
Bounded-orbit lattice representations of finite groups
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中文总结 AI 辅助
本文证明任意有限群 $G$ 存在具有 $\operatorname{Aut}(L)\cong G$ 的有限格 $L$，其元素轨道数至多 50，并可选为正则轨道，从而证实 Babai-Goodman 猜想，关键代数工具是有限 $2$-群生成集的特殊分解。
中文摘要 AI 辅助
对于有限群 $G$，设 $\lambda(G)$ 表示具有 $\operatorname{Aut}(L)\cong G$ 的有限格 $L$ 的元素上轨道的最小数目。Babai 和 Goodman 猜想 $\lambda(G)$ 由一个绝对常数界定。我们证明对每个有限群 $G$ 有 $\lambda(G)\leq 50$，从而证实了他们的猜想。此外，该格可以被选为具有一个正则轨道。主要的代数成分是将任意有限 $2$-群的生成集分解为一个初等阿贝尔部分和两个集合，在这两个集合中，不同元素的商不是对合。
英文摘要
For a finite group $G$, let $λ(G)$ denote the minimum number of orbits on the elements of a finite lattice $L$ with $\operatorname{Aut}(L)\cong G$. Babai and Goodman conjectured that $λ(G)$ is bounded by an absolute constant. We prove that $λ(G)\leq 50$ for every finite group $G$, thereby confirming their conjecture. Moreover, the lattice can be chosen to have a regular orbit. The main algebraic ingredient is a decomposition of a generating set of an arbitrary finite $2$-group into an elementary abelian part and two sets in which no quotient of distinct elements is an involution.
发表机构
- Nanjing Normal University（南京师范大学）
- University of Padova（帕多瓦大学）
- University of Lethbridge（莱斯布里奇大学）
- University of Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
