Szemerédi-Trotter估计在有限域中的及其应用
The Szemerédi-Trotter Estimate in Finite Field with its Applications
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本文通过新多项式分解定理证明有限域上的锐利Szemerédi-Trotter估计，并应用于Furstenberg集估计、和积估计及傅里叶限制估计的改进。
中文摘要 AI 辅助
我们通过一个新的多项式分解定理，证明了素数有限域 $\mathbb{F}=\mathbb{F}_p$ 上的锐利 Szemerédi-Trotter 估计 \\[\mathcal{I}(A,\mathcal{L})\lesssim \frac{|A||\mathcal{L}|}{p}+|A|^{2/3}|\mathcal{L}|^{2/3}+|A|+|\mathcal{L}|\\]。作为应用，我们首先证明了 $\mathbb{F}^2$ 中的锐利 Furstenberg 集估计。其次，我们改进了和积估计 \\[\max\{|A+A|,|A\cdot A|\}\gtrsim\min\{(p|A|)^{1/2},|A|^{5/4}\},\quad A\subset\mathbb{F}\\]。最后，当 $p\equiv 3\mod 4$ 时，我们改进了 $\mathbb{F}^3$ 中傅里叶限制估计 $R^*(2\to\alpha)$ 在 $\alpha>\frac{10}{3}$ 时成立。
英文摘要
We prove a sharp Szemerédi-Trotter estimate \[\mathcal{I}(A,\mathcal{L})\lesssim \frac{|A||\mathcal{L}|}{p}+|A|^{2/3}|\mathcal{L}|^{2/3}+|A|+|\mathcal{L}|\] for prime finite field $\mathbb{F}=\mathbb{F}_p$ by a new polynomial decomposition theorem. As applications, we first prove the sharp Furstenberg set estimate in $\mathbb{F}^2$. Secondly, we improve sum-product estimate \[\max\{|A+A|,|A\cdot A|\}\gtrsim\min\{(p|A|)^{1/2},|A|^{5/4}\},\quad A\subset\mathbb{F}.\] Finally, we improve the Fourier restriction estimate $R^*(2\toα)$ holds for $α>\frac{10}{3}$ in $\mathbb{F}^3$ when $p\equiv 3\mod 4$.
发表机构
- University of Science and Technology Beijing（北京科技大学）
- The Graduate School of China Academy of Engineering Physics（中国工程物理研究院研究生院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
