AI 中文总结
本文研究具有多项式系数的随机乘性函数的矩，证明了一个定量二分法：要么矩接近高斯矩，要么系数可被小分母有理数近似，并给出依分布收敛到复正态的条件及 Lean 4 验证代码。
AI 中文摘要
设 $f$ 为 Steinhaus 随机乘性函数，$g$ 为次数为 $d$ 的多项式。记 $S_N=N^{-1/2}\sum_{n\le N}f(n)\\,e(g(n))$。我们证明了 $S_N$ 的矩的一个定量二分法：对每个整数 $s\ge 2$，要么 $\mathbb{E}|S_N|^{2s}$ 接近高斯矩 $s!$，要么 $g$ 的系数可以被小分母的有理数近似。特别地，若 $g$ 的系数满足 Diophantine 条件，则 $S_N$ 依分布收敛到均值为 $0$、方差为 $1$ 的复正态分布。为便于验证，我们提供了 Lean 4 代码。
英文摘要
Let $f$ be a Steinhaus random multiplicative function and let $g$ be a polynomial of degree $d$. Write $S_N=N^{-1/2}\sum_{n\le N}f(n)\,e(g(n))$. We prove a quantitative dichotomy for the moments of $S_N$: for each integer $s\ge 2$, either $\mathbb{E}|S_N|^{2s}$ is close to the Gaussian moment $s!$, or the coefficients of $g$ can be approximated by rationals with a small denominator. In particular, if the coefficients of $g$ satisfy a Diophantine condition, then $S_N$ converges in law to a complex normal distribution with mean $0$ and variance $1$. Lean 4 code for the proofs is provided, for convenience of verification.
