发表机构
East China Normal University（华东师范大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究 $\mathbb Z^2$ 中由扩张仿射映射生成的 Bedford-McMullen 型前向轨道的各种维数，给出显式公式，并揭示其与半群增长及对偶吸引子维数的关系。
AI 中文摘要
我们研究由扩张仿射映射 $(x,y)\mapsto(mx+i,ny+j)$ 在 $\mathbb Z^2$ 中生成的前向轨道，其中 $m\ge n\ge2$ 为整数，$(i,j)$ 遍历非空数字集 $\Lambda\subseteq\{0,\ldots,m-1\}\times\{0,\ldots,n-1\}$。我们获得了质量维数、Beurling 维数、离散装箱维数和 Assouad 维数、离散 Hausdorff 维数及其下变体以及下熵指数的显式公式。当 $m=n$ 时，所有这些维数都等于 $\log_m\\#\Lambda$。当 $m>n$ 时，它们可能不同，且其中几个依赖于起点，通过 $\Lambda$ 的端点列的大小体现。两个 Hausdorff 维数一致，并满足压力变分公式。我们的证明使用有限符号模型和近似正方形，将数字计数与中心窗口、平移窗口和环带中的覆盖联系起来。我们还刻画了不变格集并确定了它们的维数。最后，我们将轨道维数与半群增长及紧致对偶吸引子的维数进行比较。特别地，质量维数和 Beurling 维数不必等于半群增长指数，这与相应的一维理论形成对比。
英文摘要
We study forward orbits in $\mathbb Z^2$ generated by the expanding affine maps $(x,y)\mapsto(mx+i,ny+j)$, where $m\ge n\ge2$ are integers and $(i,j)$ ranges over a nonempty digit set $Λ\subseteq\{0,\ldots,m-1\}\times\{0,\ldots,n-1\}$. We obtain explicit formulae for the mass, Beurling, discrete packing, and Assouad dimensions, the discrete Hausdorff dimension and its lower variant, and the lower entropy index. When $m=n$, all these dimensions equal $\log_m\#Λ$. When $m>n$, they can differ, and several depend on the starting point through the sizes of the endpoint columns of $Λ$. The two Hausdorff dimensions coincide and admit a pressure variational formula. Our proofs use finite symbolic models and approximate squares to relate digit counts to coverings in centered windows, translated windows, and annuli. We also characterize invariant lattice sets and determine their dimensions. Finally, we compare the orbit dimensions with semigroup growth and the dimensions of the compact dual attractor. In particular, the mass and Beurling dimensions need not equal the semigroup growth exponent, in contrast to the corresponding one-dimensional theory.
CommentsCorrected a major error in the previous manuscript
